Viele komplexe Systeme mit denen wir tagtäglich zu tun haben, können mit Hilfe von Netzwerken beschrieben werden, welche daher schon jahrzehntelang im Fokus der Informatik stehen. Dort werden Algorithmen entwickelt, um diese Systeme besser verstehen und nutzen zu können.

Überraschenderweise unterscheidet sich unsere theoretische Vorstellung dieser Algorithmen jedoch oft immens von derem praktischen Verhalten. Tatsächlich neigen sie dazu auf echten Netzwerken viel effizienter zu sein, als man im schlimmsten Fall erwarten würde. Eine Möglichkeit diese Diskrepanz zu erfassen ist die Average-Case Analyse bei der man die Unterschiede zwischen echten Instanzen und dem schlimmsten Fall ausnutzt, indem ausschließlich Netzwerke betrachtet werden, deren Eigenschaften die von echten Graphen gut abbilden. Jüngste Beobachtungen zeigen, dass gute Abbildungen entstehen, wenn man annimmt, dass einem Netzwerk eine hyperbolische Geometrie zugrunde liegt.

In dieser Arbeit wird demonstriert, dass hyperbolische Netzwerke als mächtiges Werkzeug der Average-Case Analyse dienen können. Dazu werden stark-hyperbolische Unit-Disk-Graphen eingeführt und die bekannten hyperbolischen Zufallsgraphen als ein Sonderfall dieser identifiziert. Anschließend werden auf diesen Modellen vier Probleme analysiert, um Resultate vorangegangener Experimente theoretisch zu erklären, die eine Diskrepanz zwischen Theorie und Praxis aufzeigten. Zuerst wird ein Routing Schema zum Transport von Nachrichten entwickelt und dessen Effizienz auf stark-hyperbolischen Unit-Disk-Graphen untersucht. Allgemeingültige Effizienzschranken können so auf hyperbolischen Zufallsgraphen unterboten werden. Anschließend wird das hyperbolische Zufallsgraphenmodell verwendet, um praktische Beobachtungen der bidirektionalen Breitensuche theoretisch zu erklären und es werden Algorithmen entwickelt, um optimale und nahezu optimale Knotenüberdeckungen zu berechnen (NP-schwer), deren Laufzeit auf diesen Graphen jeweils polynomiell und quasi-linear ist.

In den Analysen werden neue Eigenschaften von hyperbolischen Zufallsgraphen aufgedeckt und empirisch gezeigt, dass sich diese sowie die algorithmischen Verbesserungen auch auf echten Netzwerken nachweisen lassen.