Falsches Untergruppenkriterium

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Sei $(G,\diamond)$ eine Gruppe und $U$ eine nicht-leere Teilmenge von $G$. Falls für alle $g,g' \in U$ gilt $g\diamond g' \in U$, so ist $U$ eine Untergruppe von $G$.

BEWEIS. Wir müssen Zeigen, dass $(U,\diamond)$, wobei $\diamond$ auf $U$ eingeschränkt wird, eine Gruppe ist. Zunächst folgt die Abgeschlossenheit von $(U,\diamond)$ aus unserer Annahme. Die Assoziativität gilt für alle Elemente aus $G$, also insbesondere auch für alle Elemente aus $U$. Sei $g \in U$. Dann hat $g$ ein Inverses $g^{-1}$ in $(G,\diamond)$; sei nun $g' = g^{-1}$. Dann gilt, dass $e = g \diamond g' \in U$ nach Annahme. Damit hat $(U,\diamond)$ ein neutrales Element und die Existenz der Inversen ergibt sich direkt aus der Existenz von Inversen in $G$.