Problems

×

Selected Problems

You selected 0 problems.

Filter

Difficulty
0
1
2
3
None

  • High School Math
    • Powers
      • Potenzieren_Rechnen
      • Potenzieren_Text
    • Logarithms
      • Logarithmen_Rechnen
      • Logarithmen_Text
      • Logarithmen_Rätsel
    • Derivatives
      • Ableitungen_Rechnen
      • Finding Extremes
      • Ableitungen_Partiell
      • Ableitungen_Text
      • Ableitungen_Rätsel
    • Lineare Gleichungssysteme
  • Strukturelement
    • Well Done
  • Mathematische Sprache
    • Mengen
    • Formalisieren
    • Funktionen
    • Relationen
  • Artihmetic
    • Induction
    • Endliche Geometrische Reihe
  • Algebra
    • Gruppen_Rechnen
    • RingeKörper_Rechnen
    • Gruppen_Beweisen
    • RingeKörper_Beweisen
    • Untergruppen_Beweisen
    • Homomorphismen
    • Untergruppen_Rechnen
    • Produktstrukturen
  • Reelle Zahlen
    • Ungleichungen
      • Ungleichungen_ExpLog
    • Betrag und Abstand
    • ONotation
  • Grenzwerte
    • Folgenkonvergenz
    • Geometrische Reihe
    • Unendliche Summen
  • Funktionsanalyse
    • Stetigkeit
    • Zwischenwertsatz
    • Ableitungen
    • AnalytischeBeweise
    • LineareRegression
    • Integration
  • Vektorraum
    • LinUn_Basen
  • Matrizen
  • Matrix_Eigenschaften
    • Rang
    • Determinante
    • Eigenwerte
  • MehrdimensionaleAnalysis
    • NormenMetriken
    • MehrDExtrema
Title Tags Difficulty Problem
Altaufgaben
Strukturelement 0
Altaufgaben (0): Strukturelement

Als nächstes kommen noch ein paar Aufgaben aus der vorigen Woche, die viele Gruppen noch nicht gesehen haben.

Its Over
Strukturelement 0
Its Over (0): Strukturelement

Schnabeltierchen
Well Done 0
Schnabeltierchen (0): Well Done

Well Done I
Well Done 0
Well Done I (0): Well Done

Well Done II
Well Done 0
Well Done II (0): Well Done

Well Done IV
Well Done 0
Well Done IV (0): Well Done

Well Done V
Well Done 0
Well Done V (0): Well Done

Well Done VI
Well Done 0
Well Done VI (0): Well Done

Erklärung Potenzrechnen und Logarithmieren
Powers 0

Wir reaktivieren zunächst Schulwissen aus dem Bereich Potenzrechnen und Logarithmieren. Dazu haben wir einige reine Rechenaufgaben, sowie ein paar Textaufgaben, die auch die Praxisrelevanz ein wenig …

Potenzierungswissen
Powers 0
Potenzierungswissen (0): Powers

Während der Corona-Pandemie und der damit zusammenhängenden Erklärungen der Virenausbreitung kam es zu folgendem Twitter-Post.

Potenzieren I
Potenzieren_Rechnen 1
Potenzieren I (1): Potenzieren_Rechnen

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $x = 2^3 \cdot 5^3$;
(2) $x = 4^3 \cdot 3^3 \cdot (0,25)^3$;
(3) $x^2 = 144$;
(4) $x^3 = x^4 - 15x^3$;
(5) $2^x = -1$.

Potenzieren II
Potenzieren_Rechnen 1
Potenzieren II (1): Potenzieren_Rechnen

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $x = 5^{6} \cdot 5^{-3}$;
(2) $x = 4^{1/2}$;
(3) $x^5 = 2x^4 + 8x^3$;
(4) $0 = (x-1)(x+2)(x+3)$.

Schweineepidemie
Potenzieren_Text 1
Schweineepidemie (1): Potenzieren_Text

Eine größere Epidemie grassiert in einer Schweinepopulation. Es gibt zwei Mutanten des Virus: Bei der ersten infiziert jedes infizierte Schwein im Durchschnitt 0,8 weitere Schweine und ist danach gen…

Basis des Logarithmus
Logarithms 0
Basis des Logarithmus (0): Logarithms

Logarithmen sind die Antwort!
Logarithms 0

Logarithmen I
Logarithmen_Rechnen 1
Logarithmen I (1): Logarithmen_Rechnen

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $4 = 2^x$;
(2) $x = 2^{\log_2(11)}$;
(3) $x = \log_{12}(144)$;
(4) $-1 = \log_2(x)$.

Logarithmen II
Logarithmen_Rechnen 1
Logarithmen II (1): Logarithmen_Rechnen

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $\log_{10} (x) = 2$;
(2) $3 \log_5(5x) = 9$;
(3) $\log_{25}(x) = 1/2$;
(4) $\log_5(15x-10) = \log_5(10x+35)$.

Logarithmen III
Logarithmen_Rechnen 2
Logarithmen III (2): Logarithmen_Rechnen

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $\log_4(3x+4) = \log_4(2x+2)$;
(2) $2 \log_2(x-1) = \log_2(3x+1)$;
(3) $\log_{10}(20x^2+10x) = \log_{10}(50x)$;
(4) $\log_8(7…

Suche
Logarithmen_Text 1
Suche (1): Logarithmen_Text

Du spielst ein Spiel mit deiner Schwester. Sie denkt sich eine Zahl zwischen 0 und 100 aus, du musst die Zahl erraten. Für jeden Versuch sagt dir deine Schwester, ob die Zahl zu groß oder zu klein is…

Algen im See
Logarithmen_Text 2
Algen im See (2): Logarithmen_Text

Eine Algenkolonie breitet sich in einem See aus, jeden Tag verdoppelt sich die von den Algen belegte Fläche; nach 100 Tagen ist der See genau voll. An welchem Tag ist der See halb voll? Die Algenschw…

Vireninfektionen
Logarithmen_Text 2
Vireninfektionen (2): Logarithmen_Text

Wenn eine einzelne Vire eine Chance von $10^{-7}$ hat, dich zu infizieren, wie viele Viren infizieren dich dann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 (unter der Annahme, dass die Viren stochastisch un…

Log goes Bonkers
Logarithmen_Rätsel 2
Log goes Bonkers (2): Logarithmen_Rätsel

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $\frac{20\log_{10}(9x+46)-4}{2\log_{10}(9x+46)+2} = 6$;
(2) $25[\log_{10}(x+90)]^2-100\log_{10}(x+90) = -100$;
(3) $x^{\log_2(…

MĂĽnzen Wiegen
Logarithmen_Rätsel 2
Münzen Wiegen (2): Logarithmen_Rätsel

Du hast $m$ Münzen und du weißt, dass darunter genau eine gefälschte Münze ist. Du weißt auch, dass die gefälschte Münze leichter ist als eine echte Münze (alle echten Münzen sind gleich schwer).
Wi…

Unbeschränkte Suche
Logarithmen_Rätsel 2
Unbeschränkte Suche (2): Logarithmen_Rätsel

Deine Schwester denkt sich nun irgend eine natürliche Zahl $n$. Die Zahl ist also mindestens $0$ und hat keine Nachkommastellen, kann aber beliebig groß sein. Wieder musst du die Zahl erraten, und wi…

Ableitungen für Präsidenten
Derivatives 0

Ableitungen zum FrĂĽhstĂĽck
Derivatives 0

Erklärung Ableiten
Derivatives 0
Erklärung Ableiten (0): Derivatives

Wir reaktivieren nun Schulwissen aus dem Bereich Ableitungen. Dazu haben wir einige reine Rechenaufgaben, sowie ein paar Textaufgaben, die auch die Praxisrelevanz ein wenig verdeutlichen.
Eine Über…

Minimiere x + 1/x
Derivatives 2
Minimiere x + 1/x (2): Derivatives

Sei $f:\realnum_+ \rightarrow \realnum, x \mapsto x + 1/x$.
(1) Finde ein lokales Minimum $x_0 \in \realnum_+$ von $f$.
(2) Zeige, dass $f$ auf $(0,x_0)$ monoton fallend ist.
(3) Zeige, dass $f$ a…

Ableitungen I
Ableitungen_Rechnen 1
Ableitungen I (1): Ableitungen_Rechnen

Bestimme jeweils die Ableitungen $f'$ fĂĽr die folgenden Funktionen $f: \realnum_+ \rightarrow \realnum$.
(1) $\forall x \in \realnum_+: f(x) = 5x^3+2x^2+3x+7$;
(2) $\forall x \in \realnum_+: f(x) =…

Ableitungen II
Ableitungen_Rechnen 1
Ableitungen II (1): Ableitungen_Rechnen

Bestimme jeweils die Ableitungen $f'$ fĂĽr die folgenden Funktionen $f$ (auf der entsprechenden Menge).
(1) $\forall x \in \realnum_+: f(x) = \exp(\sqrt{x})$;
(2) $\forall x \in \realnum_+: f(x) = (…

Extrema I
Finding Extremes 1
Extrema I (1): Finding Extremes

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto x^3 + 3x^2 - 1$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Extrema II
Finding Extremes 1
Extrema II (1): Finding Extremes

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto e^x - 1 - x$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Extrema III
Finding Extremes 2
Extrema III (2): Finding Extremes

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum_{> -1} \rightarrow \realnum, x \mapsto \log_e(1+x) - x/(1+x)$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Extrema mal Anders I
Finding Extremes 2
Extrema mal Anders I (2): Finding Extremes

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto x^3 - 9x^2+27x-27$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Extrema mal Anders II
Finding Extremes 2
Extrema mal Anders II (2): Finding Extremes

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto x^4$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Partielle Ableitungen I
Ableitungen_Partiell 1
Partielle Ableitungen I (1): Ableitungen_Partiell

Wir können auch bei Funktionen mit mehreren Unbekannten Ableitungen machen; wenn man dabei lediglich die Ableitung nach einer Unbekannten betrachtet und alle anderen unbekannten als feste (aber unbek…

Partielle Ableitungen II
Ableitungen_Partiell 1
Partielle Ableitungen II (1): Ableitungen_Partiell

Wir können die zweite Ableitung nach einer Variable $x$ schreiben als $d^2/dx^2 f(x,y)$. Dabei wird zweimal in Folge nach der gleichen Variable abgeleitet.

Bestimme die folgenden Ableitungen.
(1)…

Partielle Ableitungen III
Ableitungen_Partiell 1
Partielle Ableitungen III (1): Ableitungen_Partiell

Bestimme die folgenden Ableitungen.
(1) $\frac{d^2}{dy^2} x^2y^2z^2$ ;
(2) fĂĽr $n \in \natnum$: $\frac{d}{dx_4} \sum_{i=1}^n w_i^2 x_i^2$;
(3) $\frac{d}{dx_1} \prod_{i=1}^n x_i^2$;
(4) $\frac{d^2…

Gewinnmaximierung
Ableitungen_Text 1
Gewinnmaximierung (1): Ableitungen_Text

Du möchtest eine Veranstaltung organisieren, bei der du von jedem Teilnehmenden 20 Euro Eintritt nehmen möchtest. Du stellst schnell fest, dass die möglichen Locations für deine Veranstaltungen noch …

Gen-Ă„nderung
Ableitungen_Text, Ableitungen_Rätsel 2
Gen-Änderung (2): Ableitungen_Text, Ableitungen_Rätsel

Du möchtest in einer Gensequenz mit $n \gt 0$ Basenpaaren genau ein konkretes Verändern, um eine Krankheit zu heilen; alle anderen sollen intakt bleiben. Dies kannst du jetzt erreichen, indem du die …

Ableitungslabyrinth I
Ableitungen_Rätsel 1
Ableitungslabyrinth I (1): Ableitungen_Rätsel

Bestimme die folgende Ableitung.
$\frac{d^2}{dx^2} \log_e(1/\sqrt{2\pi v}) - (x-\mu)^2/(2v)$

Ableitungslabyrinth II
Ableitungen_Rätsel 2
Ableitungslabyrinth II (2): Ableitungen_Rätsel

Bestimme die folgende Ableitung.
$\frac{d}{dv} \log_e((1/\sqrt{2\pi v})^n) - \sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2/(2v)$.

Ein LGS lösen
Lineare Gleichungssysteme 1
Ein LGS lösen (1): Lineare Gleichungssysteme

Wir wollen noch kurz am Beispiel wiederholen, wie man ein lineares Gleichungssystem lösen kann. Gegeben die folgenden Gleichungen mit Unbekannten $a,b,c$.

(I) $3a+4b+7c = 0$

(II) $6a-2b+3c = 5$…

Formal Attire Required
Formalisieren 0
Formal Attire Required (0): Formalisieren

Reste
Formalisieren 1
Reste (1): Formalisieren

Formalisiere, fĂĽr natĂĽrliche Zahlen $a$, $b$, $m$, "$a$ und $b$ haben den gleichen Rest beim Teilen durch $m$", in Zeichen "$a \equiv_m b$".

Teilerfremd?
Formalisieren 1
Teilerfremd? (1): Formalisieren

Warum formalisiert die folgend Formel nicht "$a$ und $b$ sind teilerfremd"?

$\forall n \in \natnum: (\exists x \in \natnum: (n \cdot x = a \wedge n \cdot x = b)) \Rightarrow n = 1$

Primzahlen
Formalisieren 2
Primzahlen (2): Formalisieren

Formalisiere, für natürliche Zahlen $n$, $m$, "$n$ teilt $m$", in Zeichen "$n \mid m$". Nutze diese Definition um zu formalisieren "$p$ ist Primzahl" und diese dann für "es gibt unendlich viele Primz…

Unendlich aufsteigende Folge
Formalisieren 2
Unendlich aufsteigende Folge (2): Formalisieren

Sei eine (unendliche) Menge $M$ gegeben, sowie eine Ordnungsrelation $\leq$ auf $M$. Formalisiere: Es gibt keine unendlich aufsteigende Folge in $M$ (eine Kette von unendlich vielen immer größeren El…

Zentrum
Formalisieren 3
Zentrum (3): Formalisieren

In einem Jahrgang Studierender sind zwar nicht alle Studierende mit allen anderen direkt befreundet, aber über ausreichend viele Ecken schon. Eine Studierende heißt nun "zentral", wenn sie "so dicht …

Kompression I
Formalisieren, Funktionen 1
Kompression I (1): Formalisieren, Funktionen

Ein namhaftes IT-Unternehmen mit einem weitbekannten Logo wirbt für sein Betriebssystem damit, dass es ein Kompressionsverfahren hat, womit es alle Dateien auf höchstens die Hälfte der Länge komprimi…

Kompression II
Formalisieren, Funktionen 1
Kompression II (1): Formalisieren, Funktionen

Zeige, dass es für jede Datei ein verlustfreies Kompressionsverfahren gibt, welches diese Datei auf höchstens die Hälfte der Länge komprimiert. Formalisiere diese Aussage zunächst.

Bijektion
Funktionen 0
Bijektion (0): Funktionen

Bijektion mit Paaren
Funktionen 1
Bijektion mit Paaren (1): Funktionen

Zeige, mit dem Satz von Cantor-Bernstein-Schröder, dass es eine Bijektion zwischen $\natnum^2$ und $\natnum$ gibt.

Bijektion mit Tripeln
Funktionen 2
Bijektion mit Tripeln (2): Funktionen

Sei eine Bijektion $f: \natnum^2 \rightarrow \natnum$ gegeben. Gib eine Bijektion zwischen $\natnum^3$ und $\natnum$ an.

Erblichkeit von Injektivität und Surjektivität
Funktionen 2

Seien $A$, $B$, $C$ Mengen, sowie $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ Funktionen. Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Falls $f$ und $g$ surjektiv sind, so ist auch $g \circ f$ surjektiv.
…

Rationale Zahlen
Funktionen 2
Rationale Zahlen (2): Funktionen

Finde den Fehler in folgendem Beweis, dass die natürlichen Zahlen $\natnum$ und die rationalen Zahlen $\rationals$ gleichmächtig sind. Dabei wollen wir den Satz über die Eindeutigkeit der Primfaktorz…

Bijektion mit Strings
Funktionen 3
Bijektion mit Strings (3): Funktionen

Sei eine Bijektion $f: \natnum^2 \rightarrow \natnum$ gegeben. Mit $\natnum^* = \bigcup_{i=0}^\infty \natnum^i$ bezeichnen wir die Mengen aller Strings (bzw. Tupel) aus natürlichen Zahlen. Finde eine…

ORDER!
Relationen 0
ORDER! (0): Relationen

Ganzzahliger Unterschied
Relationen 1
Ganzzahliger Unterschied (1): Relationen

Wir definieren eine Relation $\equiv$ auf den reellen Zahlen $\realnum$ so, dass fĂĽr alle reellen Zahlen $q,r \in \realnum$ gilt $q \equiv r$ genau dann, falls $r-q \in \integers$.

Zeige, dass dur…

Lexikographische Ordnung
Relationen 1
Lexikographische Ordnung (1): Relationen

Wir betrachten die folgende Relation $\leq$ auf Paaren von natürlichen Zahlen. Es ist $(a,b) \leq (x,y)$ genau dann, falls $ a < x$ oder aber $a=x$ und $b \leq y$. Zeige, dass $\leq$ eine Ordnungsrel…

Ordnung durch Teilen
Relationen 1
Ordnung durch Teilen (1): Relationen

Zeige, dass durch $|$ eine Ordnungsrelation auf den positiven natĂĽrlichen Zahlen definiert wird.

Ă„quivalenz durch Reste
Relationen 1
Ă„quivalenz durch Reste (1): Relationen

Zeige, dass fĂĽr alle $m$ durch $\equiv_m$ (gleicher Rest beim Teilen durch $m$) eine Ă„quivalenzrelation definiert wird.

Descartes
Artihmetic 0
Descartes (0): Artihmetic

Sum Sum Sum
Artihmetic 0
Sum Sum Sum (0): Artihmetic

Summe von Binomialkoeffizienten
Artihmetic 1

Sei $n \in \natnum$. Zeige $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n$.

Teleskopsumme
Artihmetic 1
Teleskopsumme (1): Artihmetic

Sei $n \in \natnum$. Finde alle Fehler im Beweis fĂĽr die folgende (korrekte) Gleichung. $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} = 1- \frac{1}{n+1}$.

Beweis. Es gilt
$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}
= \…

Teleskopprodukt
Artihmetic 2
Teleskopprodukt (2): Artihmetic

Sei $n \in \natnum$ mit $n > 0$. Zeige $\prod_{i=2}^n (1- 1/i) = 1/n$.

Cat Induction
Induction 0
Cat Induction (0): Induction

Induktion
Induction 0
Induktion (0): Induction

Bernoulli per Induktion
Induction 1
Bernoulli per Induktion (1): Induction

Im Skript haben wir eine Version der Ungleichung von Bernoulli gesehen. Wir wollen jetzt per Induktion eine leicht allgemeinere Version zeigen. Seien $n \in \natnum$ und sei $x \in \realnum_{> -1}$ (…

Summe von Ungeraden
Induction 1
Summe von Ungeraden (1): Induction

Zeige, fĂĽr alle $n \in \natnum$, $\sum_{i=1}^n 2i-1 = n^2$.

Katzeninduktion
Induction 2
Katzeninduktion (2): Induction

Wo ist der Fehler in folgendem Induktionsbeweis?

Wir beweisen durch vollständige Induktion, dass alle Katzen die gleiche Augenfarbe haben; sei $K$ dazu die Menge aller Katzen. Unsere Induktionsaus…

Summe der Kuben
Induction 2
Summe der Kuben (2): Induction

Zeige per Induktion, dass fĂĽr alle $n \in \natnum$ gilt
$\sum_{i=1}^n i^3 = n^2(n+1)^2/4$

Summe der Quadrate
Induction 2
Summe der Quadrate (2): Induction

Zeige per Induktion, dass fĂĽr alle $n \in \natnum$ gilt
$\sum_{i=1}^n i^2 = n(n+1)(2n+1)/6.$

Geometrische Reihen
Endliche Geometrische Reihe 1
Geometrische Reihen (1): Endliche Geometrische Reihe

Seien $k,n \in \natnum$, mit $k > 0$. Zeige $\sum_{i=0}^n (1-1/k)^i \leq k$.

Verschobene Reihe
Endliche Geometrische Reihe 1
Verschobene Reihe (1): Endliche Geometrische Reihe

Sei $n \in \natnum$. Vereinfache $\sum_{i=2}^{n} \frac{3}{2^i}$?

Gruppeneigenschaften
Formalisieren, Algebra 1
Gruppeneigenschaften (1): Formalisieren, Algebra

Sei eine (mulitplikative) Gruppe $G$ gegeben. Formalisiere:

(1) Jedes Element der Gruppe lässt sich dadurch schreiben, dass man ein (endliches) Produkt aus einem fest gewählten Element schreibt.
…

Körperformalisierung
Formalisieren, Algebra 2
Körperformalisierung (2): Formalisieren, Algebra

Formalisiere: Wenn es in einem Körper möglich ist, mit dem Aufsummieren von einem Element wieder die $0$ zu erreichen, dann ist es eindeutig, wie häufig man ein Element minimal aufsummieren muss, um …

Beste Körper
Algebra 0
Beste Körper (0): Algebra

Die Gruppe Machts
Algebra 0
Die Gruppe Machts (0): Algebra

Ring
Algebra 0
Ring (0): Algebra

Strings
Algebra 0
Strings (0): Algebra

Funktionenmonoid
Gruppen_Rechnen 1
Funktionenmonoid (1): Gruppen_Rechnen

Sei $A$ eine Menge. Zeige: $(\CalF_A,\circ)$ ist ein Monoid.

Gruppen mit Ungleichungen
Gruppen_Rechnen 1
Gruppen mit Ungleichungen (1): Gruppen_Rechnen

FĂĽr $x, y \in ]-1,1[$ definieren wir $x \otimes y = (x+y)/(1+xy)$. Zeige, dass $(]-1,1[,\otimes)$ eine abelsche Gruppe ist.

Gruppeneigenschaften I
Gruppen_Rechnen 1
Gruppeneigenschaften I (1): Gruppen_Rechnen

Wir definieren, fĂĽr alle $x,y \in \rationals$, die VerknĂĽpfung $\diamond$ so, dass $x \diamond y = x + y - xy$.

Welche der Eigenschaften Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz eines neutrales…

Strings als Struktur
Gruppen_Rechnen 1
Strings als Struktur (1): Gruppen_Rechnen

Sei $\Sigma$ eine endliche Menge. Zeige:

(1) $(\Sigma^*,\cdot)$ ist ein Monoid.

(2) $(\Sigma^*,\cdot)$ ist eine Gruppe genau dann, wenn $\Sigma = \emptyset$.

(3) $(\Sigma^*,\cdot)$ ist komm…

Boole'scher Körper
RingeKörper_Rechnen 1
Boole'scher Körper (1): RingeKörper_Rechnen

Zeige, dass $(\{\mathtt{t},\mathtt{f}\},\mathtt{XOR},\mathtt{AND})$ ein Körper ist (und beweise dabei explizit die Eigenschaften für die geforderten Gruppen).

Restklassenringe
RingeKörper_Rechnen 1
Restklassenringe (1): RingeKörper_Rechnen

ACHTUNG: Für diese Aufgabe könnte eine vorige Bearbeitung von "Bijektives Multiplizieren" sinnvoll sein.

Sei $m \in \natnum$ mit $m \geq 2$. Zeige:

(1) $(\integers_m,+_m,\cdot_m)$ ist ein Ring.…

Gruppeninverse
Gruppen_Beweisen 1
Gruppeninverse (1): Gruppen_Beweisen

Finde den Fehler in folgendem Beweis. Sei $(G,\diamond)$ eine Gruppe und $e$ das neutrale Elemente der Gruppe. Dann hat jedes Element $g \in G$ ein eindeutiges inverses Element bezĂĽglich $\diamond$.
…

Erzeugung I
Gruppen_Beweisen 2
Erzeugung I (2): Gruppen_Beweisen

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. Ein Element $g$ heißt erzeugendes Element für $(G,\cdot)$, falls sich jedes Element von $G$ als Produkt von (endlich vielen) $g$ oder $g^{-1}$ schreiben lässt. Zum Beispi…

Funktionengruppen
Gruppen_Beweisen 2
Funktionengruppen (2): Gruppen_Beweisen

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe mit neutralem Element $1$ und $g \in G$. Die Ordnung von $G$ ist definiert als die kleinste natürliche Zahl $n$ so, dass $g^n = 1$ (also dass $g$ $n$-mal mit sich selbst v…

Erzeugung II
Gruppen_Beweisen 3
Erzeugung II (3): Gruppen_Beweisen

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. Ein Element $g$ heißt erzeugendes Element für $(G,\cdot)$, falls sich jedes Element von $G$ als Produkt von (endlich vielen) $g$ oder $g^{-1}$ schreiben lässt. Zum Beispi…

Viele Inverse
Gruppen_Beweisen 3
Viele Inverse (3): Gruppen_Beweisen

Finde ein Monoid, in dem ein Element mit mehr als einem links-Inversen existiert.

Nullprodukt
RingeKörper_Beweisen 1
Nullprodukt (1): RingeKörper_Beweisen

Sei $(K,+,\cdot)$ ein Körper und seien $a,b \in K$ mit $a \cdot b = 0$. Zeige, dass $a= 0$ oder $b=0$

Ringrechenregeln
RingeKörper_Beweisen 1
Ringrechenregeln (1): RingeKörper_Beweisen

Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring. Zeige: fĂĽr alle $a,b \in R$, $a(-b) = -(ab)$ (mit anderen Worten: $ab$ ist das additiv Inverse von $a \cdot (-b)$).

Bijektives Multiplizieren
RingeKörper_Beweisen 2
Bijektives Multiplizieren (2): RingeKörper_Beweisen

Sei $(K,+,\cdot)$ ein Körper. Sei $k \in K \setminus \{0_K\}$ und definiere $f_k: K \setminus \{0_K\} \rightarrow K \setminus \{0_K\}, a \mapsto a \cdot k$. Zeige

(1) $f_k$ ist wohldefiniert, bild…

4er-Körper
RingeKörper_Beweisen 3
4er-Körper (3): RingeKörper_Beweisen

Gib einen Körper mit $4$ Elementen an.

Körpercharakteristik
RingeKörper_Beweisen 3
Körpercharakteristik (3): RingeKörper_Beweisen

Die Charakteristik eines Körpers ist die kleinste natürliche Zahl $n>0$, so dass die Summe von $n$ $1$en die $0$ ergibt (falls es so eine Zahl nicht gibt, so ist die Charakteristik definiert als $0$)…

Falsches Untergruppenkriterium
Untergruppen_Beweisen 1
Falsches Untergruppenkriterium (1): Untergruppen_Beweisen

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Sei $(G,\diamond)$ eine Gruppe und $U$ eine nicht-leere Teilmenge von $G$. Falls für alle $g,g' \in U$ gilt $g\diamond g' \in U$, so ist $U$ eine Unter…

Untergruppenkriterium
Untergruppen_Beweisen 2
Untergruppenkriterium (2): Untergruppen_Beweisen

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe und sei $U \subseteq G$ nicht-leer. Zeige: $U$ ist eine Untergruppe von $G$ genau dann, wenn für alle $a,b \in U$ gilt $a \cdot b^{-1} \in U$, wobei das Inverse in der Gru…

Untergruppen von (Z,+)
Untergruppen_Beweisen 3
Untergruppen von (Z,+) (3): Untergruppen_Beweisen

Sei $U$ eine Untergruppe von $(\integers,+)$. Zeige, dass es ein $m \in \integers$ gibt mit $U = m \integers$.

All the same
Homomorphismen 0
All the same (0): Homomorphismen

Sind wir Isomorph?
Homomorphismen 0
Sind wir Isomorph? (0): Homomorphismen

Invertierungsisomorphismus
Homomorphismen 1
Invertierungsisomorphismus (1): Homomorphismen

Sei $f: \integers \rightarrow \integers, x \mapsto -x$. Zeige, dass $f$ ein Isomorphismus von $(\integers,+)$ nach $(\integers, +)$ ist.

Produkthomomorphismus
Homomorphismen 1
Produkthomomorphismus (1): Homomorphismen

Sei $f: \integers^4 \rightarrow \integers^2, (w,x,y,z) \mapsto (x,y)$.

Sei $g: \integers^4 \rightarrow \integers^2, (w,x,y,z) \mapsto (w+x,y+z)$.

Sei $h: \integers^4 \rightarrow \integers^2, (w…

Allgemeiner Invertierungshomomorphismus
Homomorphismen 2

Sei nun eine kommutative Gruppe $(G,\cdot)$ gegeben und sei $g: G \rightarrow G, x \mapsto x^{-1}$ gegeben. Zeige, dass $g$ ein Isomorphismus ist.

Hinweis: Das Skript zur Algebra, bei dem erste Sä…

Inverse unter Homomorphismen
Homomorphismen 2
Inverse unter Homomorphismen (2): Homomorphismen

Seien zwei Gruppen $(G,\cdot)$ und $(H,+)$ gegeben. Sei $f: G \rightarrow H$ ein Homomorphismus. Sei $g \in G$. Zeige: $f(g^{-1}) = -f(g)$, also Inverse werden auf Inverse abgebildet.

Kern
Homomorphismen 2
Kern (2): Homomorphismen

Seien zwei Gruppen $(G,\cdot)$ und $(H,+)$ gegeben. Sei $f: G \rightarrow H$ ein Homomorphismus. Sei $K = \set{g \in G}{f(g) = 0_H}$. Man nennt $K$ auch den Kern von $f$. Zeige: $K$ ist eine Untergru…

Neutrale unter Homomorphismen
Homomorphismen 2
Neutrale unter Homomorphismen (2): Homomorphismen

Seien zwei Gruppen $(G,\cdot)$ und $(H,+)$ gegeben. Sei $f: G \rightarrow H$ ein Homomorphismus. Zeige: $f(1_G) = 0_H$, also das neutrale Element aus $G$ wird auf das neutrale Element aus $H$ abgebil…

Superisomorphie
Homomorphismen 3
Superisomorphie (3): Homomorphismen

Sei $M$ eine endliche Menge, sei $P(M)$ die Potenzmenge von $M$.

Wir akzeptieren, ohne Beweis, dass $(P(M),\Delta,\cap)$, wobei $\Delta$ die symmetrische Differenz meint, ein Ring ist. Sei $R$ das…

Untergruppenhomomorphismen
Homomorphismen, Untergruppen_Rechnen 2
Untergruppenhomomorphismen (2): Homomorphismen, Untergruppen_Rechnen

Zeige: FĂĽr alle Gruppen $(G,\cdot)$ und Untergruppen $U$ von $G$ gilt:
(1) Es gibt einen Homomorphismus von $G$ nach $U$.
(2) Es gibt einen Homomorphismus von $U$ nach $G$.

Untergruppen der S3
Untergruppen_Rechnen 2
Untergruppen der S3 (2): Untergruppen_Rechnen

Sei $A = \{0,1,2\}$ und sei $B_A$ die Menge aller Bijektionen von $A$ nach $A$. Gib alle Untergruppen von $(B_A,\circ)$ an.

Produktgruppe
Produktstrukturen 0
Produktgruppe (0): Produktstrukturen

Potenzringe
Produktstrukturen 1
Potenzringe (1): Produktstrukturen

Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring und sei $n \in \natnum_+$. Wir definieren $(R^n,+,\cdot)$ genau wie Produktstrukturen im Skript, nur dass wir dieses Mal zwei Operationen, $+$ und $\cdot$, haben, und beide…

Gruppenkonstruktion
Produktstrukturen 2
Gruppenkonstruktion (2): Produktstrukturen

Eine Gruppe $(G, \cdot)$ heißt zyklisch, falls es ein Element $g \in G$ gibt, so dass $G = \set{g^n}{ n \in \natnum}$, wenn sich also jedes Element der Gruppe als endliches Produkt von einem festen E…

Exponentialhomomorphismus
Reelle Zahlen 1
Exponentialhomomorphismus (1): Reelle Zahlen

Zeige, dass $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto e^x$ ein Isomorphismus von $(\realnum,+)$ nach $(\realnum_+,\cdot)$ ist.

Pizzaparty
Formalisieren, Ungleichungen 2
Pizzaparty (2): Formalisieren, Ungleichungen

Formalisiere die folgende Aussage.

Deine Party ist so groß, sie ist auf zwei Räume aufgeteilt; im ersten Raum befinden sich $x$ Personen, im zweiten $y$ Personen, und du hast $k$ Pizzen. Du überle…

Inequalities everywhere!
Ungleichungen 0
Inequalities everywhere! (0): Ungleichungen

Artihmetisch und Geometrisch II
Ungleichungen 1
Artihmetisch und Geometrisch II (1): Ungleichungen

Seien $x,y \in \realnum_+$. Zeige $\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}$.

Monotonie I
Ungleichungen 1
Monotonie I (1): Ungleichungen

Zeige, ohne Ableitungen zu benutzen, dass die Funktion $f: \realnum_+ \rightarrow \realnum, x \mapsto \frac{x-1}{x+1}$ strikt monoton (steigend) ist.

Ungleichungen I
Ungleichungen 1
Ungleichungen I (1): Ungleichungen

Seien $x,y \in \realnum$. Zeige die folgenden Ungleichungen. Gib explizit an, welche Axiome, als (MM) und (MA), du nutzt, oder welche (bereits bewiesenen) Folgerungen aus Satz 6.6 angewendet werden.
…

Ungleichungen II
Ungleichungen 1
Ungleichungen II (1): Ungleichungen

Zeige die folgende Aussage.
Es gibt ein $r \in \realnum$ so, dass fĂĽr alle $x > r$ gilt $1-x \leq 1/(1+x)$ und fĂĽr alle $x < r$ gilt $1-x \geq 1/(1+x)$.

Arithmetisch und Geometrisch
Ungleichungen 2
Arithmetisch und Geometrisch (2): Ungleichungen

Seien $x,y \in \realnum_+$. Zeige $\frac{4}{x+y} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

Maximaler SpaĂź
Ungleichungen, Betrag und Abstand 1
Maximaler SpaĂź (1): Ungleichungen, Betrag und Abstand

Seien $x,y \in \realnum$. Zeige die folgenden Aussagen.
(1) $x \leq \max(x,y)$.
(2) $x \leq |x|$.
(3) $|\max(x,y)| \leq \max(|x|,|y|)$.
(4) Falls $x,y \geq 0$, so $\max(x,y) \leq x + y$.
(5) $\m…

Sigmoid
Ungleichungen, Betrag und Abstand 2
Sigmoid (2): Ungleichungen, Betrag und Abstand

Sei $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto \frac{x}{1+|x|}$. Zeige:
(1) FĂĽr alle $x \in \realnum$ ist $f(x) \in ]-1,1[$.
(2) $f$ ist Punktsymmetrisch um die $0$, das heißt, für alle $x$ gilt …

Absolutely Positive
Betrag und Abstand 0
Absolutely Positive (0): Betrag und Abstand

Absolutwert
Betrag und Abstand 0
Absolutwert (0): Betrag und Abstand

Try some!
Betrag und Abstand 0
Try some! (0): Betrag und Abstand

Betrag von Produkten
Betrag und Abstand 1
Betrag von Produkten (1): Betrag und Abstand

Zeige: FĂĽr alle $x,y \in \realnum$ gilt $|xy| = |x| \cdot |y|$.

Betragslemmas
Betrag und Abstand 1
Betragslemmas (1): Betrag und Abstand

Zeige die folgenden Aussagen ohne Rückgriff auf Sätze über die Betragsfunktion (aber gerne mit Sätzen über Ungleichungen). Sei $x \in \realnum$.
(1) $x \leq 0$ genau dann, wenn $0 \leq -x$
(2) Fall…

Dreiecksungleichung fĂĽr den Betrag
Betrag und Abstand 1
Dreiecksungleichung fĂĽr den Betrag (1): Betrag und Abstand

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Seien $x,y \in \realnum$. Dann gilt $|x+y| \leq |x| + |y|$ (die Dreiecksungleichung).

BEWEIS. Fall 1: $x+y \geq 0$. Dann ist $|x+y| = x+y \leq |x| + …

Umgekehrte Dreiecksungleichung
Betrag und Abstand 2
Umgekehrte Dreiecksungleichung (2): Betrag und Abstand

Zeige: FĂĽr alle $a,b \in \realnum$ gilt $|a| - |b| \leq |a+b|$.

Hinweis: Benutze die Dreiecksungleichung für geschickt gewählte $x,y$.

Flip Inequality
Ungleichungen_ExpLog 0
Flip Inequality (0): Ungleichungen_ExpLog

ExpLog-Ungleichung I
Ungleichungen_ExpLog 1
ExpLog-Ungleichung I (1): Ungleichungen_ExpLog

Hinweis: Mit dieser Aufgabe wollen wir ĂĽben, auf bekannten Aussagen aufzubauen.

Zeige die folgenden Aussagen:
(1) FĂĽr alle $x \in \realnum_{>-1}$ gilt $\ln(1+x) \leq x$.
(2) Für alle $x \in \rea…

ExpLog-Ungleichungen II
Ungleichungen_ExpLog 1
ExpLog-Ungleichungen II (1): Ungleichungen_ExpLog

Hinweis: Mit dieser Aufgabe wollen wir ĂĽben, auf bekannten Aussagen aufzubauen.

Zeige die folgenden Aussagen:
(1) FĂĽr alle $x \in \realnum_{>-1}$ gilt $\exp(-x) \leq 1 - \frac{x}{1+x}$.
(2) Für …

Monotonie der Exponentiation
Ungleichungen_ExpLog 1
Monotonie der Exponentiation (1): Ungleichungen_ExpLog

Es gilt laut Definition: $b^r = \exp(r \cdot \ln(b))$.

Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Für alle $x \in \realnum$ mit $x > 1$ und alle $a,b \in \realnum$ gilt: $x^a \leq x^b \Leftrightarrow a …

ExpLog-Ungleichungen III
Ungleichungen_ExpLog 2
ExpLog-Ungleichungen III (2): Ungleichungen_ExpLog

Jetzt wollen wir nochmals auf bekannten Ungleichungen aufbauen.

Zeige, fĂĽr alle $x \in \realnum_{< 1}$, $\exp(-x/(1-x)) \leq 1 - x$.

Schlussfolgere, für alle $x \in \realnum_{< 1}$, $-x/(1-x) \…

Fehler in der Schranke
Ungleichungen_ExpLog 2
Fehler in der Schranke (2): Ungleichungen_ExpLog

Finde den Fehler in folgendem Beweis. (Ihr mĂĽsst die Aussage nachher nicht korrekt beweisen.)

SATZ. Sei $x \in \realnum_+$. Dann gilt $\exp(-x) \leq 1 - \frac{x}{1+2x}$.

BEWEIS. Es gilt, mit de…

Logarithmus nahe der 1
Ungleichungen_ExpLog, ONotation 2
Logarithmus nahe der 1 (2): Ungleichungen_ExpLog, ONotation

Zeige, fĂĽr alle $x \in [0,1/2]$,

(1) $-2x \leq \ln(1-x) \leq -x$;

(2) $x/2 \leq \ln(1+x) \leq x$; und

(3) als Folgen in $n$ gilt $(\ln(1+ 1/n))_{n \in \mathbb{N}_+} \equiv_O (1/n)_{n \in \m…

Big O Emoji
ONotation 0
Big O Emoji (0): ONotation

Big O!
ONotation 0
Big O! (0): ONotation

TSP in Big O
ONotation 0
TSP in Big O (0): ONotation

Folgen Ordnen I
ONotation 1
Folgen Ordnen I (1): ONotation

Ordne die folgenden Terme, aufgefasst als Folgen in $n$, bezüglich $\leq_O$. Dabei entsteht eine vollständige Reihung (es gibt keine unvergleichbaren Terme), und zwischen zwei Termen sollte entweder …

Folgen Ordnen II
ONotation 1
Folgen Ordnen II (1): ONotation

Ordne die folgenden Terme, aufgefasst als Folgen in $n$, bezüglich $\leq_O$. Dabei entsteht eine vollständige Reihung (es gibt keine unvergleichbaren Terme), und zwischen zwei Termen sollte entweder …

HintereinanderausfĂĽhrung und <=*
ONotation 1

Seien $f,g \in \realnum^{\natnum}$ und sei $h: \realnum \rightarrow \realnum$ monoton (steigend). Falls nun $f \leq_* g$, so gilt $h \circ f \leq_* h \circ g$.

Potenzen und O-Notation
ONotation 1
Potenzen und O-Notation (1): ONotation

Seien $c,d \in \realnum$. Zeige $(n^c)_{n \in \mathbb{N}} \leq_O (n^d)_{n \in \mathbb{N}}$ genau dann, wenn $c \leq d$.

Ordne danach die Terme $(\sqrt{n})_{n \in \mathbb{N}}$, $(n)_{n \in \mathbb{…

Exp Nahe der 0
ONotation 2
Exp Nahe der 0 (2): ONotation

Zeige, als Folge in $n$, $(\exp(1/n)-1)_{n \in \mathbb{N}_+} \equiv_O (1/n)_{n \in \mathbb{N}_+}$.

Folgen Ordnen III
ONotation 2
Folgen Ordnen III (2): ONotation

Ordne die folgenden Terme, aufgefasst als Folgen in $n$, bezüglich $\leq_O$. Dabei entsteht eine vollständige Reihung (es gibt keine unvergleichbaren Terme), und zwischen zwei Termen sollte entweder …

Folgen Ordnen -- Hardcore
ONotation 3
Folgen Ordnen -- Hardcore (3): ONotation

Ordne die folgenden Terme, aufgefasst als Folgen in $n$, bezüglich $\leq_O$. Dabei entsteht eine vollständige Reihung (es gibt keine unvergleichbaren Terme), und zwischen zwei Termen sollte entweder …

Convergence is Coming
Folgenkonvergenz 0
Convergence is Coming (0): Folgenkonvergenz

Waiting For Convergence
Folgenkonvergenz 0
Waiting For Convergence (0): Folgenkonvergenz

Das Sandwich Theorem
Folgenkonvergenz 1
Das Sandwich Theorem (1): Folgenkonvergenz

Seien $f,g,h$ Folgen, so dass $f \leq_* g \leq_* h$. Sei weiterhin $r$ der Grenzwert von $f$ und $h$. Zeige: $g$ ist konvergent mit Grenzwert $r$.

Hinweise: Manchmal ist es einfacher statt direkt …

Folgenkonvergenz zum Warmwerden
Folgenkonvergenz 1
Folgenkonvergenz zum Warmwerden (1): Folgenkonvergenz

Bestimme die Grenzwerte der folgenden Folgen.

(1) $(\frac{4+6n}{3n})_{n \in \mathbb{N}_+}$.

(2) $(\frac{n}{n+1})_{n \in \mathbb{N}}$.

(3) $(\sum_{i=1}^{n} i/n^2)_{n \in \mathbb{N}_+}$.

Monotonie von Grenzwerten
Folgenkonvergenz 1
Monotonie von Grenzwerten (1): Folgenkonvergenz

Sei $f$ eine konvergente Folgen mit Grenzwerten $r$ und $g$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $s$. Weiterhin gelte $f \leq_* g$. Zeige $r \leq s$.

Positive Grenzwerte
Folgenkonvergenz 1
Positive Grenzwerte (1): Folgenkonvergenz

Sei $f: \natnum \rightarrow \realnum_+$ mit Grenzwert $r$. Zeige: $r \geq 0$.

Summe von Grenzwerten
Folgenkonvergenz 1
Summe von Grenzwerten (1): Folgenkonvergenz

Seien $f,g \in \realnum^{\natnum}$ Folgen mit $r \in \realnum$ Grenzwert von $f$ und $s \in \realnum$ Grenzwert von $g$ . Zeige: Es ist $r+s$ Grenzwert von $f+g$.

0 hoch 0
Folgenkonvergenz 2
0 hoch 0 (2): Folgenkonvergenz

Was ist $0^0$? Wir wollen uns das als Grenzwert einer Folge vorstellen. Zeige: $\lim_{n \rightarrow \infty} (1/n)^{1/n} = 1$.

Hinweis: Beim Bearbeiten dieser Aufgabe solltet ihr Ungleichungen für …

0 hoch 0 die zweite
Folgenkonvergenz 2
0 hoch 0 die zweite (2): Folgenkonvergenz

Wir haben noch einmal die Frage: Was ist $0^0$? Wir wollen uns das als Grenzwert einer Folge vorstellen. Zeige: $\lim_{n \rightarrow \infty} (1/\exp(n))^{1/n} = 1/e$.

Folgenkonvergenz Berechnen II
Folgenkonvergenz 2
Folgenkonvergenz Berechnen II (2): Folgenkonvergenz

Bestimme den Grenzwert der folgenden Folge. $(\sqrt{4n^2 - 3n}/n)_{n \in \mathbb{N}_+}$.

Klein-O und Nullkonvergenz
Folgenkonvergenz 2
Klein-O und Nullkonvergenz (2): Folgenkonvergenz

Seien $f,g: \natnum \rightarrow \realnum_+$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(1) $f <_O g$;
(2) $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n) = 0$.

Produkt von Grenzwerten
Folgenkonvergenz 2
Produkt von Grenzwerten (2): Folgenkonvergenz

Seien $f,g \in \realnum^{\natnum}$ Folgen mit $r \in \realnum$ Grenzwert von $f$ und $s \in \realnum$ Grenzwert von $g$ . Zeige: Es ist $r \cdot s$ Grenzwert von $f \cdot g$.

Hinweise: Manchmal is…

0 hoch 0 die dritte
Folgenkonvergenz 3
0 hoch 0 die dritte (3): Folgenkonvergenz

Seien zwei positive, null-konvergente Folgen $f$ und $g$ gegeben; zeige $\forall^\infty n: f(n)^{g(n)} \in [0,1]$.

Finde zwei positive, null-konvergente Folgen $f$ und $g$ so, dass $f(n)^{g(n)}$ k…

Folgenkonvergenz Berechnen III
Folgenkonvergenz 3
Folgenkonvergenz Berechnen III (3): Folgenkonvergenz

Seien $j,k \in \natnum_+$. Bestimme den Grenzwert der folgenden Folge.
$(\frac{\left(1+1/(n+1)\right)^k -1}{\left(1+1/(n+1)\right)^j -1})_{n \in \mathbb{N}}$.

Geometric BS
Geometrische Reihe 0
Geometric BS (0): Geometrische Reihe

Ganovenduell
Geometrische Reihe 2
Ganovenduell (2): Geometrische Reihe

Drei Ganoven streiten sich über die Beute; am Ende können sie sich nicht einigen und wollen sich gegenseitig erschießen. Eddie "Flinker Finger" ist der mit der besten Reaktion und schießt zuerst; er …

Achilles und die Schildkröte (Zenos Paradox)
Geometrische Reihe 3

Achilles kann doppelt so schnell laufen, wie eine Schildkröte. Nun machen beide einen Wettlauf. Achilles ist großzügig und gibt der Schildkröte einen Vorsprung von einem Kilometer.
Beide laufen los,…

Fraktalchip
Geometrische Reihe, Unendliche Summen 2
Fraktalchip (2): Geometrische Reihe, Unendliche Summen

Deine Firma baut einen Chip, welcher zunächst eine quadratische Grundfläche von $3 \times 3$ cm hat; an einer der Seiten wird er mit anderer Hardware verbunden. Im "mittleren" Zentimeter entlang jede…

Infinite Sums
Unendliche Summen 0
Infinite Sums (0): Unendliche Summen

Folgenkonvergenz Berechnen I
Unendliche Summen 1
Folgenkonvergenz Berechnen I (1): Unendliche Summen

Bestimme den Grenzwert der folgenden Folge.
$\left(\sum_{i=2}^n \frac{1}{(i-1)i}\right)_{n \in \natnum}$.

Hinweis: $1/a - 1/b = (b-a)/(ab)$.

Stetiges Ameisenessen
Stetigkeit 0
Stetiges Ameisenessen (0): Stetigkeit

Unstetigkeitsstelle
Stetigkeit 0
Unstetigkeitsstelle (0): Stetigkeit

Manchmal Stetig?
Stetigkeit 1
Manchmal Stetig? (1): Stetigkeit

Sei $f: \realnum \rightarrow \realnum$ so, dass fĂĽr alle $x \in \realnum$ gilt
$$
f(x) =
\begin{cases}
0, &\mbox{falls }x=-1;\\
x + \frac{x+1}{|x+1|} &\mbox{sonst.}
\end{cases}
$$
Gib die M…

Nicht Stetig!
Stetigkeit 1
Nicht Stetig! (1): Stetigkeit

Sei $g: \realnum \rightarrow \realnum$ so, dass fĂĽr alle $x \in \realnum$ gilt
$$
g(x) = \begin{cases}
x^2, &\mbox{falls }x \in \integers;\\
x^3, &\mbox{sonst.}
\end{cases}
$$
Zeige, dass $g…

Permanenz der Stetigkeit
Stetigkeit 1
Permanenz der Stetigkeit (1): Stetigkeit

Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ stetig. Zeige:

(1) $f+g$ ist stetig.

(2) $f \cdot g$ ist stetig.

Hinweis: Sätze aus dem Skript zu Grenzwerten dürfen benutzt werden.

Stetige Funktionen
Stetigkeit 1
Stetige Funktionen (1): Stetigkeit

FĂĽr alle $a \in \realnum$ sei
$$
f_a \colon \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto
\begin{cases}
8a + 16x, &\mbox{falls }x < 2;\\
a^2(x+2), &\mbox{sonst.}
\end{cases}
$$
Zeige, …

Stetigkeit Zeigen
Stetigkeit 1
Stetigkeit Zeigen (1): Stetigkeit

Zeige fĂĽr die folgenden Funktionen, dass sie stetig sind. Ihr dĂĽrft als bekannt annehmen, das $\exp$ und $\ln$ stetig sind.

(1) $f: \realnum_+ \rightarrow \realnum, x \mapsto \log_5(x)$.

(2) $f…

Monotonieerweiterung
Stetigkeit 2
Monotonieerweiterung (2): Stetigkeit

Sei $f: \realnum \rightarrow \realnum$ stetig. Weiterhin gelte, dass $f$ strikt monoton steigend auf $\realnum_+$ (es gilt also, für alle $x,y \in \realnum$ mit $0 < x < y$, $f(x) < f(y)$). Zeige, fü…

Komposition von Stetigen Funktionen
Stetigkeit 3

Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ stetig. Zeige: $g \circ f$ ist stetig.

Stetigkeit von Exp und Ln
Stetigkeit 3
Stetigkeit von Exp und Ln (3): Stetigkeit

Zeige, dass $\exp$ und $\ln$ stetig sind.

Hinweis: Die Gruppenaufgaben aus Woche 7 können hier helfen.

Bergwanderung
Zwischenwertsatz 1
Bergwanderung (1): Zwischenwertsatz

Ein Wanderer geht von einem Bahnhof um 9 Uhr morgens auf einen Berg und übernachtet dort; am nächsten Tag geht er ab 9 Uhr morgens zurück zum Bahnhof. Zeige, dass es einen Tageszeitpunkt gibt, zu dem…

Intervallbilder
Zwischenwertsatz 1
Intervallbilder (1): Zwischenwertsatz

Als Erinnerung: FĂĽr jede Menge $X \subseteq \realnum$ ist $f(X)$ definiert als $\set{f(x)}{x \in X}$.

Zeige die folgende Aussage. Seien $a,b\in\realnum$ und sei $f: \realnum \rightarrow \realnum$ …

Ă„quatortemperatur
Zwischenwertsatz 1
Ă„quatortemperatur (1): Zwischenwertsatz

Zeige, dass es zu jedem Zeitpunkt zwei Orte auf dem Ă„quator mit der exakt gleichen Temperatur (als reelle Zahl in $^{\circ}$C) gibt.

Ein Fixpunktsatz fĂĽr Stetige Funktionen
Zwischenwertsatz 2

Sei $g\colon [0,1] \rightarrow [0,1]$ eine stetige Funktion. Zeige, dass es ein $x \in [0,1]$ gibt mit $g(x) = x$.

Derivative Dance
Ableitungen 0
Derivative Dance (0): Ableitungen

Exp Ableitung
Ableitungen 0
Exp Ableitung (0): Ableitungen

Ableitbarkeit von Summen
Ableitungen 1
Ableitbarkeit von Summen (1): Ableitungen

Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ ableitbar. Zeige: $f+g$ ist ableitbar und es gilt $(f+g)' = f' + g'$.

Ableitung von Produkten
Ableitungen 1
Ableitung von Produkten (1): Ableitungen

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ ableitbar. Dann ist $f \cdot g$ ist ableitbar und es gilt $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.

BEWEIS…

Betragsableitung I
Ableitungen 1
Betragsableitung I (1): Ableitungen

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Die Betragsfunktion ist ableitbar.

BEWEIS. Sei $x_0 \in \realnum$. Dann gilt, mit der Dreiecksungleichung,
$$
\lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{|x_…

Betragsableitung II
Ableitungen 2
Betragsableitung II (2): Ableitungen

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Die Betragsfunktion ist ableitbar.

BEWEIS. Sei $x_0 \in \realnum$. Nehmen wir nun an $x_0 < 0$. Wir wollen zeigen, dass es für alle $\varepsilon >0$ …

Betragsableitung III
Ableitungen 2
Betragsableitung III (2): Ableitungen

Zeige, dass die Betragsfunktion nicht ableitbar ist.

Hinweis: Wie in "Betragsableitung II" korrekt gezeigt, ist die Betragsfunktion in jedem Punkt von $\realnum \setminus \{0\}$ ableitbar. Sei als…

Betragspotenz
Ableitungen 2
Betragspotenz (2): Ableitungen

Zeige, dass $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto |x|^3$ ableitbar ist.

Hinweis: Für $x_0 \neq 0$ ist $f$ ableitbar, da es auf $\realnum_{<0}$ mit der Funktion $x \mapsto - x^3$ übereinstim…

Komposition von Ableitbaren Funktionen
Ableitungen 3

Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ ableitbar. Zeige: $g \circ f$ ist ableitbar mit Ableitung $(g \circ f)' = (g' \circ f) \cdot f'$.

Quadratwurzel
AnalytischeBeweise 0
Quadratwurzel (0): AnalytischeBeweise

Analytisches Ungleichen
AnalytischeBeweise 1
Analytisches Ungleichen (1): AnalytischeBeweise

Zeige mit einem analytischen Beweisansatz (also wie bei Satz 11.3 im Skript), dass fĂĽr alle $x \in \realnum_{\geq 0}$ gilt
$$
\frac{2x}{2+x} \leq \ln(1+x).
$$

Hinweis: In Satz 1.9 gibt es Forme…

Wurzelungleichung
AnalytischeBeweise 1
Wurzelungleichung (1): AnalytischeBeweise

Zeige, dass fĂĽr alle $x \leq 1$ gilt
$$
\sqrt{1-x} \leq 1 - \frac{x}{2}.
$$

Minimieren in zwei Dimensionen
AnalytischeBeweise 2
Minimieren in zwei Dimensionen (2): AnalytischeBeweise

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto x^2 - 3xy + y^2$. Wir wollen jetzt ein lokales Optimum von $f$ finden. Mache dazu folgende Schritte:

(1) Bestimme die partielle Ableitung nac…

KI oder Lineare Regression?
LineareRegression 0
KI oder Lineare Regression? (0): LineareRegression

KI und Gradient Descent
LineareRegression 0
KI und Gradient Descent (0): LineareRegression

Lineare Regression Fail
LineareRegression 0
Lineare Regression Fail (0): LineareRegression

Optimale Horizontale
LineareRegression 1
Optimale Horizontale (1): LineareRegression

Wir haben bei der linearen Regression gesehen, wir man die optimal Gerade durch eine gegebene Menge $P$ an Punkten bestimmt. Bestimme nun die optimal horizontale Gerade, also das $a \in \realnum$, so…

Optimaler Maximaler Fehler
LineareRegression 1
Optimaler Maximaler Fehler (1): LineareRegression

Für die lineare Regression haben wir uns den quadratischen Fehler QF angeschaut. In den Gruppenaufgaben haben wir uns auch die beste Konstante angeschaut. Jetzt wollen wir uns hier den maximalen Fehl…

TODO Kubischer Fehler
LineareRegression 2
TODO Kubischer Fehler (2): LineareRegression

Für die lineare Regression haben wir uns den quadratischen Fehler QF angeschaut. In den Gruppenaufgaben haben wir uns auch die beste Konstante angeschaut. Jetzt wollen wir uns hier den kubischen Fehl…

In Alle Richtungen Integrieren!
Integration 1

Betimme das folgende Integral.
$$
\int_0^1 \int_0^2 xy^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y
$$

Integrieren I
Integration 1
Integrieren I (1): Integration

Bestimme die folgenden uneigentlichen Integrale.
(1) $\int 3x+4 \;\; \mathrm{d}x$
(2) $\int e^{x}+\ln(x) \;\; \mathrm{d}x$
(3) $\int 1/(3x)+4x^2+5x \;\; \mathrm{d}x$
(4) $\int 17e^x \;\; \mathrm{…

Integrieren II
Integration 1
Integrieren II (1): Integration

Bestimme die folgenden uneigentlichen Integrale.
(1) $\int 0 \;\; \mathrm{d}x$
(2) $\int x^2y+y^2x \;\; \mathrm{d}y$
(3) $\int_4^6 4e^x \;\; \mathrm{d}x$
(4) $\int 17e^x \;\; \mathrm{d}z$

Integration durch Substitution
Integration 2

Bestimme das folgende Integral.
$$
\int_{0}^{10} xe^{x^2} \mathrm{d}x
$$

Partiell Integrieren
Integration 2
Partiell Integrieren (2): Integration

Bestimme das folgende uneigentliche Integral.
$$
\int x e^x \mathrm{d}x
$$

SpaĂź beim Integrieren
Integration 3
SpaĂź beim Integrieren (3): Integration

Bestimme das folgende Integral
$$
\int_{-23}^{23} x^3e^{x^2} \mathrm{d}x
$$

Der Nullvektor
Vektorraum 0
Der Nullvektor (0): Vektorraum

I see Vectors
Vektorraum 0
I see Vectors (0): Vektorraum

Vectors Everywhere
Vektorraum 0
Vectors Everywhere (0): Vektorraum

Erzeugendenerzeugung
Vektorraum 1
Erzeugendenerzeugung (1): Vektorraum

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Seien $A,B \subseteq V$. Zeige die folgende Aussage.
$$
[[A] \cup [B]] = [A \cup B].
$$

Erinnerung: Mengengleichheit kann man ĂĽber zwei Inklusionen nachrechnen.

Lineare HĂĽlle
Vektorraum 1
Lineare HĂĽlle (1): Vektorraum

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und sei $A \subseteq V$. Zeige:

(1) $[A]$ ist ein Untervektorraum von $(V,+)$.

(2) $A \subseteq [A]$.

(3) $\underline{0} \in [A]$.

Hinweis: Beachte, dass b…

Rechenregeln I
Vektorraum 1
Rechenregeln I (1): Vektorraum

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Für alle $a \in V$ gilt $(-1)a = -a$, also $a$ mit dem Körperelement $-1$ zu multiplizieren ergibt das additiv Inverse von $a$ in …

Kleinster Vektorraum mit A
Vektorraum 2
Kleinster Vektorraum mit A (2): Vektorraum

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und sei $A \subseteq V$. Sei $\mathcal{T}$ die Menge aller der Teilräume von $V$, welche $A$ enthalten.

Zeige
$$
[A] = \bigcap_{T \in \mathcal{T}} T.
$$
Mit and…

Rechenregeln II
Vektorraum 2
Rechenregeln II (2): Vektorraum

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Seien $x \in K$ und $a \in V$ mit $xa = \underline{0}$. Dann gilt $x = 0$ oder $a = \underline{0}$.

(2) $(V,+)$ ist abelsch. Hi…

Strong and Linearly Independent
LinUn_Basen 0

Basisersetzung
LinUn_Basen 1
Basisersetzung (1): LinUn_Basen

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und seien $a,b \in V$ linear unabhängig. Bestimme für jede der folgenden Möglichkeiten, ob sie linear unabhängig sind.

(1) $\{a$, $b$, $a-b\}$.

(2) $\{a$, $-b\}$.…

LinUn Kriterium
LinUn_Basen 1
LinUn Kriterium (1): LinUn_Basen

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und seien $u_1,\ldots, u_n \in V$. Zeige: Falls $u_1 \in [u_2,\ldots,u_n]$, dann sind $u_1,\ldots,u_n$ nicht linear unabhängig.

Hinweis: Zu dieser Aufgabe gibt es im…

Linear Unabhängig?
LinUn_Basen 1
Linear Unabhängig? (1): LinUn_Basen

Welche der folgenden Vektorenmengen aus $\realnum^2$ sind linear unabhängig?

(1) (1,1), (2,3).

(2) (0,0), (1,0).

(3) (1,-1), (-1,1).

(4) (1,0), (1,1).

Basen bauen
LinUn_Basen 2
Basen bauen (2): LinUn_Basen

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Sei $B = \{ b_1, b_2, \dots, b_n\}$ eine Basis. Zeige: Es gibt ein $x \in V$ so, dass jede der Mengen
$$
\{x, b_2, \dots, b_n\}, \{b_1, x, \dots, b_n\}, \dots,…

Basen sind Maximal Linear Unabhängig
LinUn_Basen 2

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und sei $B \subseteq V$. Zeige, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.

(1) $B$ ist Basis von $V$.

(2) $B$ ist maximal linear unabhängig (also $B$ ist…

Basen sind Minimal Erzeugend
LinUn_Basen 2
Basen sind Minimal Erzeugend (2): LinUn_Basen

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und sei $B \subseteq V$. Zeige, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.

(1) $B$ ist Basis von $V$.

(2) $B$ ist minimal erzeugend (also $[B] = V$, aber…

Kleine Dimensionen
LinUn_Basen 2
Kleine Dimensionen (2): LinUn_Basen

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Seien $x_1,\ldots,x_n \in V$ (und keiner davon der Nullvektor). Zeige die folgenden Aussagen.

(1) dim$(\{\underline{0}\}) = 0$.

(2) dim$([x_1]) \leq 1$.

(3) d…

BĂĽcherfrage
LinUn_Basen 3
BĂĽcherfrage (3): LinUn_Basen

Eine Bücherei hat $n$ Bücher und $n+1$ Besucher (ein Besucher ist jemand, der mindestens ein Buch der Bücherei gelesen hat). Zeige, dass es zwei disjunkte Mengen von Besuchern gibt, die die gleichen …

Schnabeltierchen M
Strukturelement, Matrizen 0
Schnabeltierchen M (0): Strukturelement, Matrizen

Well Done M
Strukturelement, Matrizen 0
Well Done M (0): Strukturelement, Matrizen

Inverting a Matrix
Matrizen 0
Inverting a Matrix (0): Matrizen

Lineare Abbildungen
Matrizen 0
Lineare Abbildungen (0): Matrizen

Matrices Everywhere
Matrizen 0
Matrices Everywhere (0): Matrizen

Matrices Here
Matrizen 0
Matrices Here (0): Matrizen

Abschlusseigenschaften Lineare Abbildungen
Matrizen 1

Es seien $K$ ein Körper und $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Falls $\varphi,\psi: V \rightarrow W$ linear sind, so auch $\varphi+\psi$.

(2) Falls $a \in K$ und …

Achsenspiegelungen
Matrizen 1
Achsenspiegelungen (1): Matrizen

Seien $\varphi: \realnum^2 \rightarrow \realnum^2, (x,y) \mapsto (x,-y)$ und $\psi: \realnum^2 \rightarrow \realnum^2, (x,y) \mapsto (-x,y)$.

(1) Zeige, dass $\varphi$ und $\psi$ linear sind.

…

Der Kern
Matrizen 1
Der Kern (1): Matrizen

Sei $\varphi: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass Kern$(\varphi) = \set{v \in V}{\varphi(v) = \underline{0}}$ ein Untervektorraum von $V$ ist.

Diagonalmatrizen
Matrizen 1
Diagonalmatrizen (1): Matrizen

Sei $n \in \natnum$. Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix $D \in \realnum^{n \times n}$ so, dass fĂĽr alle $i,j \leq n$ mit $i \neq j$ gilt $D(i,j)=0$.

(1) Sei $D \in \realnum^{3 \times 3}$ eine Dia…

Drehung und Projektion
Matrizen 1
Drehung und Projektion (1): Matrizen

Seien $\varphi: \realnum^2 \rightarrow \realnum^2, (x,y) \mapsto (-y,x)$ und $\psi: \realnum^2 \rightarrow \realnum^2, (x,y) \mapsto (0,y)$.

(1) Zeige, dass $\varphi$ und $\psi$ linear sind.

(…

Inverse von Matrizen
Matrizen 1
Inverse von Matrizen (1): Matrizen

Sei $n \in \natnum$ und sei $Inv(n)$ die Menge der invertierbaren $\realnum^{n \times n}$-Matrizen.

(1) Zeige: $(Inv(n),\cdot)$ ist eine Gruppe.

(2) Seien $A,B \in Inv(n)$. Zeige $(AB)^{-1} = B…

Kern und Invertieren
Matrizen 1
Kern und Invertieren (1): Matrizen

Sei $\varphi: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Wir erinnern uns, dass Kern$(\varphi) = \set{v \in V}{\varphi(v) = \underline{0}}$.

Zeige: $\varphi$ ist injektiv genau dann, wenn Kern$(\var…

Konkrete Inverse
Matrizen 1
Konkrete Inverse (1): Matrizen

Was ist die Inverse Matrix von $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$?

Hinweis: Ein möglicher Ansatz wäre, die Definition davon, was eine Inverse ist, aufzuschreiben, und dann ein lineares Gleichu…

Matrix als Lineare Abbildung
Matrizen 1

Seien $n,m \in \natnum$ und $A \in \realnum^{n \times m}$. Zeige, dass $\varphi: \realnum^m \rightarrow \realnum^n, x \mapsto A \cdot x$ eine lineare Abbildung ist.

Potenzieren
Matrizen 2
Potenzieren (2): Matrizen

Finde eine lineare Funktion $\varphi: \realnum^3 \rightarrow \realnum^3$ so, dass für $M_\varphi$ gilt, dass sowohl die erste wie auch die zweite Potenz nicht die Matrix mit nur $0$ ist, die dritte a…

Rechenregeln Lineare Abbildungen
Matrizen 2

Es seien $K$ ein Körper, $V,W$ Vektorräume über $K$ und $\varphi: V \rightarrow W$ linear. Zeige, für alle $u,v \in V$ und alle $k \in K$, dass

(1) $\varphi(\underline{\vec{0}}) = \underline{\vec{…

Bild und Kern
Matrizen 3
Bild und Kern (3): Matrizen

Seien $V,W$ endlichdimensionale Vektorräume und $\varphi: V \rightarrow W$ linear. Zeige

(1) Bild$(\varphi) = \set{\varphi(v)}{v \in V}$ ist ein Untervektorraum von $W$.

(2) dim(Bild$(\varphi)$…

Diagonalisierbar TODO
Matrizen 3
Diagonalisierbar TODO (3): Matrizen

Sei $n \in \natnum$. Eine Matrix $A \in \realnum^{n \times n}$ heißt diagonalisierbar, falls es eine invertierbare Matrix $T \in \realnum^{n \times n}$ und eine Diagonalmatrix $D \in \realnum^{n \tim…

Fibonacci als Matrix
Matrizen, Matrix_Eigenschaften 1
Fibonacci als Matrix (1): Matrizen, Matrix_Eigenschaften

Wir definieren $f_0 = 1 = f_1$ und, fĂĽr alle $n \in \natnum$ rekursiv $f_{n+2} = f_{n+1} + f_n$. Die Folge $(f_n)_n$ nennt man auch die Fibonacci-Folge.

Zeige: Für alle $n \in \natnum$ gilt $\begi…

Ich kann jetzt Lineare Algebra!
Matrix_Eigenschaften 0
Ich kann jetzt Lineare Algebra! (0): Matrix_Eigenschaften

Was heiĂźt schon invertierbar?
Matrix_Eigenschaften 0
Was heiĂźt schon invertierbar? (0): Matrix_Eigenschaften

Rang und Invertierbarkeit
Rang 2

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$ eine Matrix, welche nicht vollen Rang hat. Zeige, dass es einen Vektor $v \neq \underline{0}$ gibt, so dass $Av = \underline{0}$. Schlussfolgere, dass $A$ nicht inve…

GroĂźe Determinanten Berechnen?
Determinante 0

Kleine Determinanten I
Determinante 1
Kleine Determinanten I (1): Determinante

Sei $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Was ist det$(A)$?

Kleine Determinanten II
Determinante 1
Kleine Determinanten II (1): Determinante

Sei $A = \begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$. Was ist det$(A)$?

Rang und Eigenwerte I
Rang, Eigenwerte 1
Rang und Eigenwerte I (1): Rang, Eigenwerte

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$ ohne vollen Rang. Zeige, dass $0$ ein Eigenwert von $A$ ist.

Rang und Eigenwerte II
Rang, Eigenwerte 2
Rang und Eigenwerte II (2): Rang, Eigenwerte

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$ so, dass $0$ ein Eigenwert von $A$ ist. Zeige, dass $A$ nicht vollen Rang hat.

Höchstens n Eigenwerte
Determinante, Eigenwerte 2
Höchstens n Eigenwerte (2): Determinante, Eigenwerte

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$. Zeige, dass $A$ höchstens $n$ Eigenwerte hat.

Determinanten und Eigenwerte
Determinante, Eigenwerte 3
Determinanten und Eigenwerte (3): Determinante, Eigenwerte

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$ und $\lambda \in \realnum$ so, dass die Determinante von $A - \lambda I_n$ $0$ ist. Zeige, dass $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist.

Zeige nun anders herum, dass …

Everyone gets an Eigenvalue
Eigenwerte 0
Everyone gets an Eigenvalue (0): Eigenwerte

Power by Eigenvalue
Eigenwerte 0
Power by Eigenvalue (0): Eigenwerte

Eigenwerte Berechnen
Eigenwerte 1
Eigenwerte Berechnen (1): Eigenwerte

Was sind die Eigenwerte von $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$?

Eigenwerte von Diagonalmatrizen I
Eigenwerte 1

Sei $D \in \realnum^{n \times n}$ eine Matrix, so dass für alle $i,j \leq n$ mit $i \neq j$ gilt $D(i,j) =0$. Zeige, das die Eigenwerte von $D$ die Menge $\set{D(i,i)}{i \leq n}$ enthält.

Eigenwerte von Drehungen
Eigenwerte 1
Eigenwerte von Drehungen (1): Eigenwerte

Sei $A = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ eine Drehung. Bestimme alle Eigenwerte von $A$.

Eigenwertsräume
Eigenwerte 1
Eigenwertsräume (1): Eigenwerte

Seien $A \in \realnum^{n \times n}$ und $\lambda \in \realnum$. Sei $U = \set{v \in \realnum^n}{Av = \lambda v}$ die zu $\lambda$ gehörende Menge an Eigenvektoren.

Zeige: $U$ ist ein Untervektorra…

Eigenwerte von Diagonalmatrizen II
Eigenwerte 2

Sei $D \in \realnum^{n \times n}$ eine Matrix, so dass fĂĽr alle $i,j \leq n$ mit $i \neq j$ gilt $D(i,j) =0$. Zeige, das die Eigenwerte von $D$ genau die Menge $\set{D(i,i)}{i \leq n}$ ist.

Projektionen und Eigenwerte
Eigenwerte 2
Projektionen und Eigenwerte (2): Eigenwerte

Seien $n \in \natnum$ und $\pi: \realnum^n \rightarrow \realnum^n$ linear so, dass gilt $\pi \circ \pi = \pi$. Zeige, dass $M_\pi$ höchstens zwei Eigenwerte hat.

Nicht Stetig mit partiellen Ableitungen
MehrdimensionaleAnalysis 1
Nicht Stetig mit partiellen Ableitungen (1): MehrdimensionaleAnalysis

Sei
$$
f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) =
\begin{cases}
0, &\mbox{falls }x=0=y;\\
\frac{2xy}{x^2+y^2}, &\mbox{sonst.}
\end{cases}
$$
Zeige: $f$ ist nicht stetig in $(0,0)$, …

Versuchsmetrik
NormenMetriken 0
Versuchsmetrik (0): NormenMetriken

Lee-Metrik
NormenMetriken 1
Lee-Metrik (1): NormenMetriken

Seien $n,q \in \natnum$ und sei $\Sigma = \{0,\ldots,q-1\}$. Wir definieren die Lee-Metrik als Funktion auf Strings wie folgt.
$$
d_L: \Sigma^n \times \Sigma^n \rightarrow \natnum, (x,y) \mapsto \s…

Matrixnorm
NormenMetriken 1
Matrixnorm (1): NormenMetriken

Seien $n \in \natnum_+$ und $A \in \realnum^{n \times n}$ eine positiv definite, symmetrische Matrix. Zeige (N1) und (N2) fĂĽr $|| \cdot ||_A$.

Norm der Null
NormenMetriken 1
Norm der Null (1): NormenMetriken

Sei $V$ ein $\realnum$-Vektorraum und $||\cdot ||$ eine Norm auf $V$. Zeige: fĂĽr $v \in V$ gilt
$$
|| v || = 0 \Leftrightarrow v= \underline{0}.
$$

Norm und Metrik
NormenMetriken 1
Norm und Metrik (1): NormenMetriken

Sei $V$ ein $\realnum$-Vektorraum und $||\cdot ||$ eine Norm auf $V$. Zeige: Durch
$$
d: V \times V \rightarrow \realnum_{\geq 0}, (u,v) \mapsto ||u-v||
$$
wird eine Metrik auf $V$ definiert.

Punktwolken Metrik I
NormenMetriken 1
Punktwolken Metrik I (1): NormenMetriken

Seien $n \in \natnum$ und $X$ die Menge aller endlichen Mengen von Punkten aus $\realnum^n$ (ein Element von $X$ ist dann eine "Punktwolke"). Wir wollen jetzt Distanzen zwischen Punktwolken messen (z…

Punktwolken Metrik II
NormenMetriken 3
Punktwolken Metrik II (3): NormenMetriken

Seien $n \in \natnum$ und $X$ die Menge aller endlichen Mengen von Punkten aus $\realnum^n$ (ein Element von $X$ ist dann eine "Punktwolke"). Wir wollen jetzt Distanzen zwischen Punktwolken messen (z…

Definitheit Testen
MehrDExtrema 0
Definitheit Testen (0): MehrDExtrema

Hesse Matrix For The Win
MehrDExtrema 0
Hesse Matrix For The Win (0): MehrDExtrema

Nicht Definit
MehrDExtrema 0
Nicht Definit (0): MehrDExtrema

Extrema Finden I
MehrDExtrema 1
Extrema Finden I (1): MehrDExtrema

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto e^{(x^2)} + y^2$. Finde alle lokalen Extrema von $f$.

Extrema Finden II
MehrDExtrema 1
Extrema Finden II (1): MehrDExtrema

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto x^2 -3xy + y^2$. Finde alle lokalen Extrema von $f$.

Extrema Finden III
MehrDExtrema 2
Extrema Finden III (2): MehrDExtrema

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto x^2 + 2xy + y^2$. Finde alle lokalen Extrema von $f$.

Extrema Finden IV
MehrDExtrema 2
Extrema Finden IV (2): MehrDExtrema

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto x^4 - x^2 + y^2$. Finde alle lokalen Extrema von $f$.

Matrixtransformation
1

Seien $n \in \natnum$ und $A,B \in \realnum^{n \times n}$. Wir schreiben $A \equiv_T B$, falls es eine invertierbare Matrix $M \in \realnum^{n \times n}$ gibt, so dass $A = MBM^{-1}$.

(1) Zeige, d…

6er-Körper
None
6er-Körper (None):

Zeige, dass es keinen Körper mit $6$ Elementen gibt.