Aufgaben

Als nächstes kommen noch ein paar Aufgaben aus der vorigen Woche, die viele Gruppen noch nicht gesehen haben.

Wir reaktivieren zunächst Schulwissen aus dem Bereich Potenzrechnen und Logarithmieren. Dazu haben wir einige reine Rechenaufgaben, sowie ein paar Textaufgaben, die auch die Praxisrelevanz ein wenig …

Während der Corona-Pandemie und der damit zusammenhängenden Erklärungen der Virenausbreitung kam es zu folgendem Twitter-Post.

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $x = 2^3 \cdot 5^3$;
(2) $x = 4^3 \cdot 3^3 \cdot (0,25)^3$;
(3) $x^2 = 144$;
(4) $x^3 = x^4 - 15x^3$;
(5) $2^x = -1$.

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $x = 5^{6} \cdot 5^{-3}$;
(2) $x = 4^{1/2}$;
(3) $x^5 = 2x^4 + 8x^3$;
(4) $0 = (x-1)(x+2)(x+3)$.

Eine größere Epidemie grassiert in einer Schweinepopulation. Es gibt zwei Mutanten des Virus: Bei der ersten infiziert jedes infizierte Schwein im Durchschnitt 0,8 weitere Schweine und ist danach gen…

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $4 = 2^x$;
(2) $x = 2^{\log_2(11)}$;
(3) $x = \log_{12}(144)$;
(4) $-1 = \log_2(x)$.

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $\log_{10} (x) = 2$;
(2) $3 \log_5(5x) = 9$;
(3) $\log_{25}(x) = 1/2$;
(4) $\log_5(15x-10) = \log_5(10x+35)$.

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $\log_4(3x+4) = \log_4(2x+2)$;
(2) $2 \log_2(x-1) = \log_2(3x+1)$;
(3) $\log_{10}(20x^2+10x) = \log_{10}(50x)$;
(4) $\log_8(7…

Du spielst ein Spiel mit deiner Schwester. Sie denkt sich eine Zahl zwischen 0 und 100 aus, du musst die Zahl erraten. Für jeden Versuch sagt dir deine Schwester, ob die Zahl zu groß oder zu klein is…

Eine Algenkolonie breitet sich in einem See aus, jeden Tag verdoppelt sich die von den Algen belegte Fläche; nach 100 Tagen ist der See genau voll. An welchem Tag ist der See halb voll? Die Algenschw…

Wenn eine einzelne Vire eine Chance von $10^{-7}$ hat, dich zu infizieren, wie viele Viren infizieren dich dann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 (unter der Annahme, dass die Viren stochastisch un…

Finde jeweils alle Lösungen für $x$ in den folgenden Gleichungen.
(1) $\frac{20\log_{10}(9x+46)-4}{2\log_{10}(9x+46)+2} = 6$;
(2) $25[\log_{10}(x+90)]^2-100\log_{10}(x+90) = -100$;
(3) $x^{\log_2(…

Du hast $m$ Münzen und du weißt, dass darunter genau eine gefälschte Münze ist. Du weißt auch, dass die gefälschte Münze leichter ist als eine echte Münze (alle echten Münzen sind gleich schwer).
Wi…

Deine Schwester denkt sich nun irgend eine natürliche Zahl $n$. Die Zahl ist also mindestens $0$ und hat keine Nachkommastellen, kann aber beliebig groß sein. Wieder musst du die Zahl erraten, und wi…

Wir reaktivieren nun Schulwissen aus dem Bereich Ableitungen. Dazu haben wir einige reine Rechenaufgaben, sowie ein paar Textaufgaben, die auch die Praxisrelevanz ein wenig verdeutlichen.
Eine Über…

Sei $f:\realnum_+ \rightarrow \realnum, x \mapsto x + 1/x$.
(1) Finde ein lokales Minimum $x_0 \in \realnum_+$ von $f$.
(2) Zeige, dass $f$ auf $(0,x_0)$ monoton fallend ist.
(3) Zeige, dass $f$ a…

Bestimme jeweils die Ableitungen $f'$ für die folgenden Funktionen $f: \realnum_+ \rightarrow \realnum$.
(1) $\forall x \in \realnum_+: f(x) = 5x^3+2x^2+3x+7$;
(2) $\forall x \in \realnum_+: f(x) =…

Bestimme jeweils die Ableitungen $f'$ für die folgenden Funktionen $f$ (auf der entsprechenden Menge).
(1) $\forall x \in \realnum_+: f(x) = \exp(\sqrt{x})$;
(2) $\forall x \in \realnum_+: f(x) = (…

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto x^3 + 3x^2 - 1$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto e^x - 1 - x$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum_{> -1} \rightarrow \realnum, x \mapsto \log_e(1+x) - x/(1+x)$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto x^3 - 9x^2+27x-27$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Finde alle lokalen Extrema der Funktion $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto x^4$. Zeige auch jeweils, ob die Extrema Minima oder Maxima sind.

Wir können auch bei Funktionen mit mehreren Unbekannten Ableitungen machen; wenn man dabei lediglich die Ableitung nach einer Unbekannten betrachtet und alle anderen unbekannten als feste (aber unbek…

Wir können die zweite Ableitung nach einer Variable $x$ schreiben als $d^2/dx^2 f(x,y)$. Dabei wird zweimal in Folge nach der gleichen Variable abgeleitet.

Bestimme die folgenden Ableitungen.
(1)…

Bestimme die folgenden Ableitungen.
(1) $\frac{d^2}{dy^2} x^2y^2z^2$ ;
(2) für $n \in \natnum$: $\frac{d}{dx_4} \sum_{i=1}^n w_i^2 x_i^2$;
(3) $\frac{d}{dx_1} \prod_{i=1}^n x_i^2$;
(4) $\frac{d^2…

Du möchtest eine Veranstaltung organisieren, bei der du von jedem Teilnehmenden 20 Euro Eintritt nehmen möchtest. Du stellst schnell fest, dass die möglichen Locations für deine Veranstaltungen noch …

Du möchtest in einer Gensequenz mit $n \gt 0$ Basenpaaren genau ein konkretes Verändern, um eine Krankheit zu heilen; alle anderen sollen intakt bleiben. Dies kannst du jetzt erreichen, indem du die …

Bestimme die folgende Ableitung.
$\frac{d^2}{dx^2} \log_e(1/\sqrt{2\pi v}) - (x-\mu)^2/(2v)$

Bestimme die folgende Ableitung.
$\frac{d}{dv} \log_e((1/\sqrt{2\pi v})^n) - \sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2/(2v)$.

Wir wollen noch kurz am Beispiel wiederholen, wie man ein lineares Gleichungssystem lösen kann. Gegeben die folgenden Gleichungen mit Unbekannten $a,b,c$.

(I) $3a+4b+7c = 0$

(II) $6a-2b+3c = 5$…

Formalisiere, für natürliche Zahlen $a$, $b$, $m$, "$a$ und $b$ haben den gleichen Rest beim Teilen durch $m$", in Zeichen "$a \equiv_m b$".

Warum formalisiert die folgend Formel nicht "$a$ und $b$ sind teilerfremd"?

$\forall n \in \natnum: (\exists x \in \natnum: (n \cdot x = a \wedge n \cdot x = b)) \Rightarrow n = 1$

Formalisiere, für natürliche Zahlen $n$, $m$, "$n$ teilt $m$", in Zeichen "$n \mid m$". Nutze diese Definition um zu formalisieren "$p$ ist Primzahl" und diese dann für "es gibt unendlich viele Primz…

Sei eine (unendliche) Menge $M$ gegeben, sowie eine Ordnungsrelation $\leq$ auf $M$. Eine Folge von in $M$ ist eine unendliche Liste $m_0$, $m_1$, $m_2$,... von Elementen aus $M$. Formalisiere: Es gi…

In einem Jahrgang Studierender sind zwar nicht alle Studierende mit allen anderen direkt befreundet, aber über ausreichend viele Ecken schon. Eine Studierende heißt nun "zentral", wenn sie "so dicht …

Ein namhaftes IT-Unternehmen mit einem weitbekannten Logo wirbt für sein Betriebssystem damit, dass es ein Kompressionsverfahren hat, womit es alle Dateien auf höchstens die Hälfte der Länge komprimi…

Zeige, dass es für jede Datei ein verlustfreies Kompressionsverfahren gibt, welches diese Datei auf höchstens die Hälfte der Länge komprimiert. Formalisiere diese Aussage zunächst.

Zeige, mit dem Satz von Cantor-Bernstein-Schröder, dass es eine Bijektion zwischen $\natnum^2$ und $\natnum$ gibt.

Sei eine Bijektion $f: \natnum^2 \rightarrow \natnum$ gegeben. Gib eine Bijektion zwischen $\natnum^3$ und $\natnum$ an.

Seien $A$, $B$, $C$ Mengen, sowie $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ Funktionen. Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Falls $f$ und $g$ surjektiv sind, so ist auch $g \circ f$ surjektiv.
…

Finde den Fehler in folgendem Beweis, dass die natürlichen Zahlen $\natnum$ und die rationalen Zahlen $\rationals$ gleichmächtig sind. Dabei wollen wir den Satz über die Eindeutigkeit der Primfaktorz…

Sei eine Bijektion $f: \natnum^2 \rightarrow \natnum$ gegeben. Mit $\natnum^* = \bigcup_{i=0}^\infty \natnum^i$ bezeichnen wir die Mengen aller Strings (bzw. Tupel) aus natürlichen Zahlen. Finde eine…

Wir definieren eine Relation $\equiv$ auf den reellen Zahlen $\realnum$ so, dass für alle reellen Zahlen $q,r \in \realnum$ gilt $q \equiv r$ genau dann, falls $r-q \in \integers$.

Zeige, dass dur…

Wir betrachten die folgende Relation $\leq$ auf Paaren von natürlichen Zahlen. Es ist $(a,b) \leq (x,y)$ genau dann, falls $ a < x$ oder aber $a=x$ und $b \leq y$. Zeige, dass $\leq$ eine Ordnungsrel…

Zeige, dass durch $|$ eine Ordnungsrelation auf den positiven natürlichen Zahlen definiert wird.

Zeige, dass für alle $m$ durch $\equiv_m$ (gleicher Rest beim Teilen durch $m$) eine Äquivalenzrelation definiert wird.

Sei $n \in \natnum$. Zeige $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n$.

Sei $n \in \natnum$. Finde alle Fehler im Beweis für die folgende (korrekte) Gleichung. $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} = 1- \frac{1}{n+1}$.

Beweis. Es gilt
$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}
= \…

Sei $n \in \natnum$ mit $n > 0$. Zeige $\prod_{i=2}^n (1- 1/i) = 1/n$.

Im Skript haben wir eine Version der Ungleichung von Bernoulli gesehen. Wir wollen jetzt per Induktion eine leicht allgemeinere Version zeigen. Seien $n \in \natnum$ und sei $x \in \realnum_{> -1}$ (…

Zeige, für alle $n \in \natnum$, $\sum_{i=1}^n 2i-1 = n^2$.

Nenne den konkreten Punkt, an dem der folgende Beweis kaputt geht.

Behauptung: Alle Katzen haben die gleiche Augenfarbe. Beweis: Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion. Sei $K$ d…

Zeige per Induktion, dass für alle $n \in \natnum$ gilt
$\sum_{i=1}^n i^3 = n^2(n+1)^2/4$

Zeige per Induktion, dass für alle $n \in \natnum$ gilt
$\sum_{i=1}^n i^2 = n(n+1)(2n+1)/6.$

Seien $k,n \in \natnum$, mit $k > 0$. Zeige $\sum_{i=0}^n (1-1/k)^i \leq k$.

Sei $n \in \natnum$. Vereinfache $\sum_{i=2}^{n} \frac{3}{2^i}$?

Sei eine (mulitplikative) Gruppe $G$ gegeben. Formalisiere:

(1) Jedes Element der Gruppe lässt sich dadurch schreiben, dass man ein (endliches) Produkt aus einem fest gewählten Element schreibt.
…

Formalisiere: Wenn es in einem Körper möglich ist, mit dem Aufsummieren von einem Element wieder die $0$ zu erreichen, dann ist es eindeutig, wie häufig man ein Element minimal aufsummieren muss, um …

Sei $A$ eine Menge. Zeige: $(\CalF_A,\circ)$ ist ein Monoid.

Für $x, y \in ]-1,1[$ definieren wir $x \otimes y = (x+y)/(1+xy)$. Zeige, dass $(]-1,1[,\otimes)$ eine abelsche Gruppe ist.

Wir definieren, für alle $x,y \in \rationals$, die Verknüpfung $\diamond$ so, dass $x \diamond y = x + y - xy$.

Welche der Eigenschaften Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz eines neutrales…

Sei $\Sigma$ eine endliche Menge. Zeige:

(1) $(\Sigma^*,\cdot)$ ist ein Monoid.

(2) $(\Sigma^*,\cdot)$ ist eine Gruppe genau dann, wenn $\Sigma = \emptyset$.

(3) $(\Sigma^*,\cdot)$ ist komm…

Zeige, dass $(\{\mathtt{t},\mathtt{f}\},\mathtt{XOR},\mathtt{AND})$ ein Körper ist (und beweise dabei explizit die Eigenschaften für die geforderten Gruppen).

ACHTUNG: Für diese Aufgabe könnte eine vorige Bearbeitung von "Bijektives Multiplizieren" sinnvoll sein.

Sei $m \in \natnum$ mit $m \geq 2$. Zeige:

(1) $(\integers_m,+_m,\cdot_m)$ ist ein Ring.…

Finde den Fehler in folgendem Beweis. Sei $(G,\diamond)$ eine Gruppe und $e$ das neutrale Elemente der Gruppe. Dann hat jedes Element $g \in G$ ein eindeutiges inverses Element bezüglich $\diamond$.
…

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. Ein Element $g$ heißt erzeugendes Element für $(G,\cdot)$, falls sich jedes Element von $G$ als Produkt von (endlich vielen) $g$ oder $g^{-1}$ schreiben lässt. Zum Beispi…

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe mit neutralem Element $1$ und $g \in G$. Die Ordnung von $G$ ist definiert als die kleinste natürliche Zahl $n$ so, dass $g^n = 1$ (also dass $g$ $n$-mal mit sich selbst v…

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. Ein Element $g$ heißt erzeugendes Element für $(G,\cdot)$, falls sich jedes Element von $G$ als Produkt von (endlich vielen) $g$ oder $g^{-1}$ schreiben lässt. Zum Beispi…

Finde ein Monoid, in dem ein Element mit mehr als einem links-Inversen existiert.

Sei $(K,+,\cdot)$ ein Körper und seien $a,b \in K$ mit $a \cdot b = 0_K$. Zeige, dass $a= 0_K$ oder $b=0_K$.

Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring. Zeige: für alle $a,b \in R$, $a(-b) = -(ab)$ (mit anderen Worten: $ab$ ist das additiv Inverse von $a \cdot (-b)$).

Sei $(K,+,\cdot)$ ein Körper. Sei $k \in K \setminus \{0_K\}$ und definiere $f_k: K \setminus \{0_K\} \rightarrow K \setminus \{0_K\}, a \mapsto a \cdot k$. Zeige

(1) $f_k$ ist wohldefiniert, bild…

Gib einen Körper mit $4$ Elementen an.

Die Charakteristik eines Körpers ist die kleinste natürliche Zahl $n>0$, so dass die Summe von $n$ $1$en die $0$ ergibt (falls es so eine Zahl nicht gibt, so ist die Charakteristik definiert als $0$)…

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Sei $(G,\diamond)$ eine Gruppe und $U$ eine nicht-leere Teilmenge von $G$. Falls für alle $g,g' \in U$ gilt $g\diamond g' \in U$, so ist $U$ eine Unter…

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe und sei $U \subseteq G$ nicht-leer. Zeige: $U$ ist eine Untergruppe von $G$ genau dann, wenn für alle $a,b \in U$ gilt $a \cdot b^{-1} \in U$, wobei das Inverse in der Gru…

Sei $U$ eine Untergruppe von $(\integers,+)$. Zeige, dass es ein $m \in \integers$ gibt mit $U = m \integers$.

Sei $f: \integers \rightarrow \integers, x \mapsto -x$. Zeige, dass $f$ ein Isomorphismus von $(\integers,+)$ nach $(\integers, +)$ ist.

Sei $f: \integers^4 \rightarrow \integers^2, (w,x,y,z) \mapsto (x,y)$.

Sei $g: \integers^4 \rightarrow \integers^2, (w,x,y,z) \mapsto (w+x,y+z)$.

Sei $h: \integers^4 \rightarrow \integers^2, (w…

Sei nun eine kommutative Gruppe $(G,\cdot)$ gegeben und sei $g: G \rightarrow G, x \mapsto x^{-1}$ gegeben. Zeige, dass $g$ ein Isomorphismus ist.

Hinweis: Das Skript zur Algebra, bei dem erste Sä…

Seien zwei Gruppen $(G,\cdot)$ und $(H,+)$ gegeben. Sei $f: G \rightarrow H$ ein Homomorphismus. Sei $g \in G$. Zeige: $f(g^{-1}) = -f(g)$, also Inverse werden auf Inverse abgebildet.

Seien zwei Gruppen $(G,\cdot)$ und $(H,+)$ gegeben. Sei $f: G \rightarrow H$ ein Homomorphismus. Sei $K = \set{g \in G}{f(g) = 0_H}$. Man nennt $K$ auch den Kern von $f$. Zeige: $K$ ist eine Untergru…

Seien zwei Gruppen $(G,\cdot)$ und $(H,+)$ gegeben. Sei $f: G \rightarrow H$ ein Homomorphismus. Zeige: $f(1_G) = 0_H$, also das neutrale Element aus $G$ wird auf das neutrale Element aus $H$ abgebil…

Sei $M$ eine endliche Menge, sei $P(M)$ die Potenzmenge von $M$.

Wir akzeptieren, ohne Beweis, dass $(P(M),\Delta,\cap)$, wobei $\Delta$ die symmetrische Differenz meint, ein Ring ist. Sei $R$ das…

Zeige: Für alle Gruppen $(G,\cdot)$ und Untergruppen $U$ von $G$ gilt:
(1) Es gibt einen Homomorphismus von $G$ nach $U$.
(2) Es gibt einen Homomorphismus von $U$ nach $G$.

Sei $A = \{0,1,2\}$ und sei $B_A$ die Menge aller Bijektionen von $A$ nach $A$. Gib alle Untergruppen von $(B_A,\circ)$ an.

Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring und sei $n \in \natnum_+$. Wir definieren $(R^n,+,\cdot)$ genau wie Produktstrukturen im Skript, nur dass wir dieses Mal zwei Operationen, $+$ und $\cdot$, haben, und beide…

Eine Gruppe $(G, \cdot)$ heißt zyklisch, falls es ein Element $g \in G$ gibt, so dass $G = \set{g^n}{ n \in \natnum}$, wenn sich also jedes Element der Gruppe als endliches Produkt von einem festen E…

Zeige, dass $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto e^x$ ein Isomorphismus von $(\realnum,+)$ nach $(\realnum_+,\cdot)$ ist.

Formalisiere die folgende Aussage.

Deine Party ist so groß, sie ist auf zwei Räume aufgeteilt; im ersten Raum befinden sich $x$ Personen, im zweiten $y$ Personen, und du hast $k$ Pizzen. Du überle…

Seien $x,y \in \realnum_+$. Zeige $\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}$.

Zeige, ohne Ableitungen zu benutzen, dass die Funktion $f: \realnum_+ \rightarrow \realnum, x \mapsto \frac{x-1}{x+1}$ strikt monoton (steigend) ist.

Seien $x,y \in \realnum$. Zeige die folgenden Ungleichungen. Gib explizit an, welche Axiome, als (MM) und (MA), du nutzt, oder welche (bereits bewiesenen) Folgerungen aus Satz 6.6 angewendet werden.
…

Zeige die folgende Aussage.
Es gibt ein $r \in \realnum$ so, dass für alle $x > r$ gilt $1-x \leq 1/(1+x)$ und für alle $x < r$ gilt $1-x \geq 1/(1+x)$.

Seien $x,y \in \realnum_+$. Zeige $\frac{4}{x+y} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

Seien $x,y \in \realnum$. Zeige die folgenden Aussagen.
(1) $x \leq \max(x,y)$.
(2) $x \leq |x|$.
(3) $|\max(x,y)| \leq \max(|x|,|y|)$.
(4) Falls $x,y \geq 0$, so $\max(x,y) \leq x + y$.
(5) $\m…

Sei $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto \frac{x}{1+|x|}$. Zeige:
(1) Für alle $x \in \realnum$ ist $f(x) \in ]-1,1[$.
(2) $f$ ist Punktsymmetrisch um die $0$, das heißt, für alle $x$ gilt …

Zeige: Für alle $x,y \in \realnum$ gilt $|xy| = |x| \cdot |y|$.

Zeige die folgenden Aussagen ohne Rückgriff auf Sätze über die Betragsfunktion (aber gerne mit Sätzen über Ungleichungen). Sei $x \in \realnum$.
(1) $x \leq 0$ genau dann, wenn $0 \leq -x$
(2) Fall…

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Seien $x,y \in \realnum$. Dann gilt $|x+y| \leq |x| + |y|$ (die Dreiecksungleichung).

BEWEIS. Fall 1: $x+y \geq 0$. Dann ist $|x+y| = x+y \leq |x| + …

Zeige: Für alle $a,b \in \realnum$ gilt $|a| - |b| \leq |a+b|$.

Hinweis: Benutze die Dreiecksungleichung für geschickt gewählte $x,y$.

Hinweis: Mit dieser Aufgabe wollen wir üben, auf bekannten Aussagen aufzubauen.

Zeige die folgenden Aussagen:
(1) Für alle $x \in \realnum_{>-1}$ gilt $\ln(1+x) \leq x$.
(2) Für alle $x \in \rea…

Hinweis: Mit dieser Aufgabe wollen wir üben, auf bekannten Aussagen aufzubauen.

Zeige die folgenden Aussagen:
(1) Für alle $x \in \realnum_{>-1}$ gilt $\exp(-x) \leq 1 - \frac{x}{1+x}$.
(2) Für …

Es gilt laut Definition: $b^r = \exp(r \cdot \ln(b))$.

Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Für alle $x \in \realnum$ mit $x > 1$ und alle $a,b \in \realnum$ gilt: $x^a \leq x^b \Leftrightarrow a …

Jetzt wollen wir nochmals auf bekannten Ungleichungen aufbauen.

Zeige, für alle $x \in \realnum_{< 1}$, $\exp(-x/(1-x)) \leq 1 - x$.

Schlussfolgere, für alle $x \in \realnum_{< 1}$, $-x/(1-x) \…

Finde den Fehler in folgendem Beweis. (Ihr müsst die Aussage nachher nicht korrekt beweisen.)

SATZ. Sei $x \in \realnum_+$. Dann gilt $\exp(-x) \leq 1 - \frac{x}{1+2x}$.

BEWEIS. Es gilt, mit de…

Zeige, für alle $x \in [0,1/2]$,

(1) $-2x \leq \ln(1-x) \leq -x$;

(2) $x/2 \leq \ln(1+x) \leq x$; und

(3) als Folgen in $n$ gilt $(\ln(1+ 1/n))_{n \in \mathbb{N}_+} \equiv_O (1/n)_{n \in \m…

Ordne die folgenden Terme, aufgefasst als Folgen in $n$, bezüglich $\leq_O$. Dabei entsteht eine vollständige Reihung (es gibt keine unvergleichbaren Terme), und zwischen zwei Termen sollte entweder …

Ordne die folgenden Terme, aufgefasst als Folgen in $n$, bezüglich $\leq_O$. Dabei entsteht eine vollständige Reihung (es gibt keine unvergleichbaren Terme), und zwischen zwei Termen sollte entweder …

Seien $f,g \in \realnum^{\natnum}$ und sei $h: \realnum \rightarrow \realnum$ monoton (steigend). Falls nun $f \leq_* g$, so gilt $h \circ f \leq_* h \circ g$.

Seien $c,d \in \realnum$. Zeige $(n^c)_{n \in \mathbb{N}} \leq_O (n^d)_{n \in \mathbb{N}}$ genau dann, wenn $c \leq d$.

Ordne danach die Terme $(\sqrt{n})_{n \in \mathbb{N}}$, $(n)_{n \in \mathbb{…

Zeige, als Folge in $n$, $(\exp(1/n)-1)_{n \in \mathbb{N}_+} \equiv_O (1/n)_{n \in \mathbb{N}_+}$.

Ordne die folgenden Terme, aufgefasst als Folgen in $n$, bezüglich $\leq_O$. Dabei entsteht eine vollständige Reihung (es gibt keine unvergleichbaren Terme), und zwischen zwei Termen sollte entweder …

Ordne die folgenden Terme, aufgefasst als Folgen in $n$, bezüglich $\leq_O$. Dabei entsteht eine vollständige Reihung (es gibt keine unvergleichbaren Terme), und zwischen zwei Termen sollte entweder …

Seien $f,g,h$ Folgen, so dass $f \leq_* g \leq_* h$. Sei weiterhin $r$ der Grenzwert von $f$ und $h$. Zeige: $g$ ist konvergent mit Grenzwert $r$.

Hinweise: Manchmal ist es einfacher statt direkt …

Bestimme die Grenzwerte der folgenden Folgen.

(1) $(\frac{4+6n}{3n})_{n \in \mathbb{N}_+}$.

(2) $(\frac{n}{n+1})_{n \in \mathbb{N}}$.

(3) $(\sum_{i=1}^{n} i/n^2)_{n \in \mathbb{N}_+}$.

Sei $f$ eine konvergente Folgen mit Grenzwerten $r$ und $g$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $s$. Weiterhin gelte $f \leq_* g$. Zeige $r \leq s$.

Sei $f: \natnum \rightarrow \realnum_+$ mit Grenzwert $r$. Zeige: $r \geq 0$.

Seien $f,g \in \realnum^{\natnum}$ Folgen mit $r \in \realnum$ Grenzwert von $f$ und $s \in \realnum$ Grenzwert von $g$ . Zeige: Es ist $r+s$ Grenzwert von $f+g$.

Was ist $0^0$? Wir wollen uns das als Grenzwert einer Folge vorstellen. Zeige: $\lim_{n \rightarrow \infty} (1/n)^{1/n} = 1$.

Hinweis: Beim Bearbeiten dieser Aufgabe solltet ihr Ungleichungen für …

Wir haben noch einmal die Frage: Was ist $0^0$? Wir wollen uns das als Grenzwert einer Folge vorstellen. Zeige: $\lim_{n \rightarrow \infty} (1/\exp(n))^{1/n} = 1/e$.

Bestimme den Grenzwert der folgenden Folge. $(\sqrt{4n^2 - 3n}/n)_{n \in \mathbb{N}_+}$.

Seien $f,g: \natnum \rightarrow \realnum_+$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(1) $f <_O g$;
(2) $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n) = 0$.

Seien $f,g \in \realnum^{\natnum}$ Folgen mit $r \in \realnum$ Grenzwert von $f$ und $s \in \realnum$ Grenzwert von $g$ . Zeige: Es ist $r \cdot s$ Grenzwert von $f \cdot g$.

Hinweise: Manchmal is…

Seien zwei positive, null-konvergente Folgen $f$ und $g$ gegeben; zeige $\forall^\infty n: f(n)^{g(n)} \in [0,1]$.

Finde zwei positive, null-konvergente Folgen $f$ und $g$ so, dass $f(n)^{g(n)}$ k…

Seien $j,k \in \natnum_+$. Bestimme den Grenzwert der folgenden Folge.
$(\frac{\left(1+1/(n+1)\right)^k -1}{\left(1+1/(n+1)\right)^j -1})_{n \in \mathbb{N}}$.

Drei Ganoven streiten sich über die Beute; am Ende können sie sich nicht einigen und wollen sich gegenseitig erschießen. Eddie "Flinker Finger" ist der mit der besten Reaktion und schießt zuerst; er …

Achilles kann doppelt so schnell laufen, wie eine Schildkröte. Nun machen beide einen Wettlauf. Achilles ist großzügig und gibt der Schildkröte einen Vorsprung von einem Kilometer.
Beide laufen los,…

Deine Firma baut einen Chip, welcher zunächst eine quadratische Grundfläche von $3 \times 3$ cm hat; an einer der Seiten wird er mit anderer Hardware verbunden. Im "mittleren" Zentimeter entlang jede…

Bestimme den Grenzwert der folgenden Folge.
$\left(\sum_{i=2}^n \frac{1}{(i-1)i}\right)_{n \in \natnum}$.

Hinweis: $1/a - 1/b = (b-a)/(ab)$.

Sei $f: \realnum \rightarrow \realnum$ so, dass für alle $x \in \realnum$ gilt
$$
f(x) =
\begin{cases}
0, &\mbox{falls }x=-1;\\
x + \frac{x+1}{|x+1|} &\mbox{sonst.}
\end{cases}
$$
Gib die M…

Sei $g: \realnum \rightarrow \realnum$ so, dass für alle $x \in \realnum$ gilt
$$
g(x) = \begin{cases}
x^2, &\mbox{falls }x \in \integers;\\
x^3, &\mbox{sonst.}
\end{cases}
$$
Zeige, dass $g…

Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ stetig. Zeige:

(1) $f+g$ ist stetig.

(2) $f \cdot g$ ist stetig.

Hinweis: Sätze aus dem Skript zu Grenzwerten dürfen benutzt werden.

Für alle $a \in \realnum$ sei
$$
f_a \colon \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto
\begin{cases}
8a + 16x, &\mbox{falls }x < 2;\\
a^2(x+2), &\mbox{sonst.}
\end{cases}
$$
Zeige, …

Zeige für die folgenden Funktionen, dass sie stetig sind. Ihr dürft als bekannt annehmen, das $\exp$ und $\ln$ stetig sind.

(1) $f: \realnum_+ \rightarrow \realnum, x \mapsto \log_5(x)$.

(2) $f…

Sei $f: \realnum \rightarrow \realnum$ stetig. Weiterhin gelte, dass $f$ strikt monoton steigend auf $\realnum_+$ (es gilt also, für alle $x,y \in \realnum$ mit $0 < x < y$, $f(x) < f(y)$). Zeige, fü…

Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ stetig. Zeige: $g \circ f$ ist stetig.

Zeige, dass $\exp$ und $\ln$ stetig sind.

Hinweis: Die Gruppenaufgaben aus Woche 7 können hier helfen.

Ein Wanderer geht von einem Bahnhof um 9 Uhr morgens auf einen Berg und übernachtet dort; am nächsten Tag geht er ab 9 Uhr morgens zurück zum Bahnhof. Zeige, dass es einen Tageszeitpunkt gibt, zu dem…

Als Erinnerung: Für jede Menge $X \subseteq \realnum$ ist $f(X)$ definiert als $\set{f(x)}{x \in X}$.

Zeige die folgende Aussage. Seien $a,b\in\realnum$ und sei $f: \realnum \rightarrow \realnum$ …

Zeige, dass es zu jedem Zeitpunkt zwei Orte auf dem Äquator mit der exakt gleichen Temperatur (als reelle Zahl in $^{\circ}$C) gibt.

Sei $g\colon [0,1] \rightarrow [0,1]$ eine stetige Funktion. Zeige, dass es ein $x \in [0,1]$ gibt mit $g(x) = x$.

Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ ableitbar. Zeige: $f+g$ ist ableitbar und es gilt $(f+g)' = f' + g'$.

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ ableitbar. Dann ist $f \cdot g$ ist ableitbar und es gilt $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.

BEWEIS…

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Die Betragsfunktion ist ableitbar.

BEWEIS. Sei $x_0 \in \realnum$. Dann gilt, mit der Dreiecksungleichung,
$$
\lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{|x_…

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Die Betragsfunktion ist ableitbar.

BEWEIS. Sei $x_0 \in \realnum$. Nehmen wir nun an $x_0 < 0$. Wir wollen zeigen, dass es für alle $\varepsilon >0$ …

Zeige, dass die Betragsfunktion nicht ableitbar ist.

Hinweis: Wie in "Betragsableitung II" korrekt gezeigt, ist die Betragsfunktion in jedem Punkt von $\realnum \setminus \{0\}$ ableitbar. Sei als…

Zeige, dass $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto |x|^3$ ableitbar ist.

Hinweis: Für $x_0 \neq 0$ ist $f$ ableitbar, da es auf $\realnum_{<0}$ mit der Funktion $x \mapsto - x^3$ übereinstim…

Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ ableitbar. Zeige: $g \circ f$ ist ableitbar mit Ableitung $(g \circ f)' = (g' \circ f) \cdot f'$.

Zeige mit einem analytischen Beweisansatz (also wie bei Satz 11.3 im Skript), dass für alle $x \in \realnum_{\geq 0}$ gilt
$$
\frac{2x}{2+x} \leq \ln(1+x).
$$

Hinweis: In Satz 1.9 gibt es Forme…

Zeige, dass für alle $x \leq 1$ gilt
$$
\sqrt{1-x} \leq 1 - \frac{x}{2}.
$$

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto x^2 - 3xy + y^2$. Wir wollen jetzt ein lokales Optimum von $f$ finden. Mache dazu folgende Schritte:

(1) Bestimme die partielle Ableitung nac…

Wir haben bei der linearen Regression gesehen, wir man die optimal Gerade durch eine gegebene Menge $P$ an Punkten bestimmt. Bestimme nun die optimal horizontale Gerade, also das $a \in \realnum$, so…

Für die lineare Regression haben wir uns den quadratischen Fehler QF angeschaut. In den Gruppenaufgaben haben wir uns auch die beste Konstante angeschaut. Jetzt wollen wir uns hier den maximalen Fehl…

Für die lineare Regression haben wir uns den quadratischen Fehler QF angeschaut. In den Gruppenaufgaben haben wir uns auch die beste Konstante angeschaut. Jetzt wollen wir uns hier den kubischen Fehl…

Betimme das folgende Integral.
$$
\int_0^1 \int_0^2 xy^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y
$$

Bestimme die folgenden uneigentlichen Integrale.
(1) $\int 3x+4 \;\; \mathrm{d}x$
(2) $\int e^{x}+\ln(x) \;\; \mathrm{d}x$
(3) $\int 1/(3x)+4x^2+5x \;\; \mathrm{d}x$
(4) $\int 17e^x \;\; \mathrm{…

Bestimme die folgenden uneigentlichen Integrale.
(1) $\int 0 \;\; \mathrm{d}x$
(2) $\int x^2y+y^2x \;\; \mathrm{d}y$
(3) $\int_4^6 4e^x \;\; \mathrm{d}x$
(4) $\int 17e^x \;\; \mathrm{d}z$

Bestimme das folgende Integral.
$$
\int_{0}^{10} xe^{x^2} \mathrm{d}x
$$

Bestimme das folgende uneigentliche Integral.
$$
\int x e^x \mathrm{d}x
$$

Bestimme das folgende Integral
$$
\int_{-23}^{23} x^3e^{x^2} \mathrm{d}x
$$

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Seien $A,B \subseteq V$. Zeige die folgende Aussage.
$$
[[A] \cup [B]] = [A \cup B].
$$

Erinnerung: Mengengleichheit kann man über zwei Inklusionen nachrechnen.

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und sei $A \subseteq V$. Zeige:

(1) $[A]$ ist ein Untervektorraum von $(V,+)$.

(2) $A \subseteq [A]$.

(3) $\underline{0} \in [A]$.

Hinweis: Beachte, dass b…

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Für alle $a \in V$ gilt $(-1)a = -a$, also $a$ mit dem Körperelement $-1$ zu multiplizieren ergibt das additiv Inverse von $a$ in …

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und sei $A \subseteq V$. Sei $\mathcal{T}$ die Menge aller der Teilräume von $V$, welche $A$ enthalten.

Zeige
$$
[A] = \bigcap_{T \in \mathcal{T}} T.
$$
Mit and…

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Seien $x \in K$ und $a \in V$ mit $xa = \underline{0}$. Dann gilt $x = 0$ oder $a = \underline{0}$.

(2) $(V,+)$ ist abelsch. Hi…

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und seien $a,b \in V$ linear unabhängig. Bestimme für jede der folgenden Möglichkeiten, ob sie linear unabhängig sind.

(1) $\{a$, $b$, $a-b\}$.

(2) $\{a$, $-b\}$.…

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und seien $u_1,\ldots, u_n \in V$. Zeige: Falls $u_1 \in [u_2,\ldots,u_n]$, dann sind $u_1,\ldots,u_n$ nicht linear unabhängig.

Hinweis: Zu dieser Aufgabe gibt es im…

Welche der folgenden Vektorenmengen aus $\realnum^2$ sind linear unabhängig?

(1) (1,1), (2,3).

(2) (0,0), (1,0).

(3) (1,-1), (-1,1).

(4) (1,0), (1,1).

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Sei $B = \{ b_1, b_2, \dots, b_n\}$ eine Basis. Zeige: Es gibt ein $x \in V$ so, dass jede der Mengen
$$
\{x, b_2, \dots, b_n\}, \{b_1, x, \dots, b_n\}, \dots,…

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und sei $B \subseteq V$. Zeige, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.

(1) $B$ ist Basis von $V$.

(2) $B$ ist maximal linear unabhängig (also $B$ ist…

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und sei $B \subseteq V$. Zeige, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.

(1) $B$ ist Basis von $V$.

(2) $B$ ist minimal erzeugend (also $[B] = V$, aber…

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Seien $x_1,\ldots,x_n \in V$ (und keiner davon der Nullvektor). Zeige die folgenden Aussagen.

(1) dim$(\{\underline{0}\}) = 0$.

(2) dim$([x_1]) \leq 1$.

(3) d…

Eine Bücherei hat $n$ Bücher und $n+1$ Besucher (ein Besucher ist jemand, der mindestens ein Buch der Bücherei gelesen hat). Zeige, dass es zwei disjunkte Mengen von Besuchern gibt, die die gleichen …

Es seien $K$ ein Körper und $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Zeige die folgenden Aussagen.

(1) Falls $\varphi,\psi: V \rightarrow W$ linear sind, so auch $\varphi+\psi$.

(2) Falls $a \in K$ und …

Seien $\varphi: \realnum^2 \rightarrow \realnum^2, (x,y) \mapsto (x,-y)$ und $\psi: \realnum^2 \rightarrow \realnum^2, (x,y) \mapsto (-x,y)$.

(1) Zeige, dass $\varphi$ und $\psi$ linear sind.

…

Sei $\varphi: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass Kern$(\varphi) = \set{v \in V}{\varphi(v) = \underline{0}}$ ein Untervektorraum von $V$ ist.

Sei $n \in \natnum$. Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix $D \in \realnum^{n \times n}$ so, dass für alle $i,j \leq n$ mit $i \neq j$ gilt $D(i,j)=0$.

(1) Sei $D \in \realnum^{3 \times 3}$ eine Dia…

Seien $\varphi: \realnum^2 \rightarrow \realnum^2, (x,y) \mapsto (-y,x)$ und $\psi: \realnum^2 \rightarrow \realnum^2, (x,y) \mapsto (0,y)$.

(1) Zeige, dass $\varphi$ und $\psi$ linear sind.

(…

Sei $n \in \natnum$ und sei $Inv(n)$ die Menge der invertierbaren $\realnum^{n \times n}$-Matrizen.

(1) Zeige: $(Inv(n),\cdot)$ ist eine Gruppe.

(2) Seien $A,B \in Inv(n)$. Zeige $(AB)^{-1} = B…

Sei $\varphi: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Wir erinnern uns, dass Kern$(\varphi) = \set{v \in V}{\varphi(v) = \underline{0}}$.

Zeige: $\varphi$ ist injektiv genau dann, wenn Kern$(\var…

Was ist die Inverse Matrix von $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$?

Hinweis: Ein möglicher Ansatz wäre, die Definition davon, was eine Inverse ist, aufzuschreiben, und dann ein lineares Gleichu…

Seien $n,m \in \natnum$ und $A \in \realnum^{n \times m}$. Zeige, dass $\varphi: \realnum^m \rightarrow \realnum^n, x \mapsto A \cdot x$ eine lineare Abbildung ist.

Finde eine lineare Funktion $\varphi: \realnum^3 \rightarrow \realnum^3$ so, dass für $M_\varphi$ gilt, dass sowohl die erste wie auch die zweite Potenz nicht die Matrix mit nur $0$ ist, die dritte a…

Es seien $K$ ein Körper, $V,W$ Vektorräume über $K$ und $\varphi: V \rightarrow W$ linear. Zeige, für alle $u,v \in V$ und alle $k \in K$, dass

(1) $\varphi(\underline{\vec{0}}) = \underline{\vec{…

Seien $V,W$ endlichdimensionale Vektorräume und $\varphi: V \rightarrow W$ linear. Zeige

(1) Bild$(\varphi) = \set{\varphi(v)}{v \in V}$ ist ein Untervektorraum von $W$.

(2) dim(Bild$(\varphi)$…

Sei $n \in \natnum$. Eine Matrix $A \in \realnum^{n \times n}$ heißt diagonalisierbar, falls es eine invertierbare Matrix $T \in \realnum^{n \times n}$ und eine Diagonalmatrix $D \in \realnum^{n \tim…

Wir definieren $f_0 = 1 = f_1$ und, für alle $n \in \natnum$ rekursiv $f_{n+2} = f_{n+1} + f_n$. Die Folge $(f_n)_n$ nennt man auch die Fibonacci-Folge.

Zeige: Für alle $n \in \natnum$ gilt $\begi…

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$ eine Matrix, welche nicht vollen Rang hat. Zeige, dass es einen Vektor $v \neq \underline{0}$ gibt, so dass $Av = \underline{0}$. Schlussfolgere, dass $A$ nicht inve…

Sei $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Was ist det$(A)$?

Sei $A = \begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$. Was ist det$(A)$?

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$ ohne vollen Rang. Zeige, dass $0$ ein Eigenwert von $A$ ist.

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$ so, dass $0$ ein Eigenwert von $A$ ist. Zeige, dass $A$ nicht vollen Rang hat.

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$. Zeige, dass $A$ höchstens $n$ Eigenwerte hat.

Sei $A \in \realnum^{n \times n}$ und $\lambda \in \realnum$ so, dass die Determinante von $A - \lambda I_n$ $0$ ist. Zeige, dass $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist.

Zeige nun anders herum, dass …

Was sind die Eigenwerte von $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$?

Sei $D \in \realnum^{n \times n}$ eine Matrix, so dass für alle $i,j \leq n$ mit $i \neq j$ gilt $D(i,j) =0$. Zeige, das die Eigenwerte von $D$ die Menge $\set{D(i,i)}{i \leq n}$ enthält.

Sei $A = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ eine Drehung. Bestimme alle Eigenwerte von $A$.

Seien $A \in \realnum^{n \times n}$ und $\lambda \in \realnum$. Sei $U = \set{v \in \realnum^n}{Av = \lambda v}$ die zu $\lambda$ gehörende Menge an Eigenvektoren.

Zeige: $U$ ist ein Untervektorra…

Sei $D \in \realnum^{n \times n}$ eine Matrix, so dass für alle $i,j \leq n$ mit $i \neq j$ gilt $D(i,j) =0$. Zeige, das die Eigenwerte von $D$ genau die Menge $\set{D(i,i)}{i \leq n}$ ist.

Seien $n \in \natnum$ und $\pi: \realnum^n \rightarrow \realnum^n$ linear so, dass gilt $\pi \circ \pi = \pi$. Zeige, dass $M_\pi$ höchstens zwei Eigenwerte hat.

Sei
$$
f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) =
\begin{cases}
0, &\mbox{falls }x=0=y;\\
\frac{2xy}{x^2+y^2}, &\mbox{sonst.}
\end{cases}
$$
Zeige: $f$ ist nicht stetig in $(0,0)$, …

Seien $n,q \in \natnum$ und sei $\Sigma = \{0,\ldots,q-1\}$. Wir definieren die Lee-Metrik als Funktion auf Strings wie folgt.
$$
d_L: \Sigma^n \times \Sigma^n \rightarrow \natnum, (x,y) \mapsto \s…

Seien $n \in \natnum_+$ und $A \in \realnum^{n \times n}$ eine positiv definite, symmetrische Matrix. Zeige (N1) und (N2) für $|| \cdot ||_A$.

Sei $V$ ein $\realnum$-Vektorraum und $||\cdot ||$ eine Norm auf $V$. Zeige: für $v \in V$ gilt
$$
|| v || = 0 \Leftrightarrow v= \underline{0}.
$$

Sei $V$ ein $\realnum$-Vektorraum und $||\cdot ||$ eine Norm auf $V$. Zeige: Durch
$$
d: V \times V \rightarrow \realnum_{\geq 0}, (u,v) \mapsto ||u-v||
$$
wird eine Metrik auf $V$ definiert.

Seien $n \in \natnum$ und $X$ die Menge aller endlichen Mengen von Punkten aus $\realnum^n$ (ein Element von $X$ ist dann eine "Punktwolke"). Wir wollen jetzt Distanzen zwischen Punktwolken messen (z…

Seien $n \in \natnum$ und $X$ die Menge aller endlichen Mengen von Punkten aus $\realnum^n$ (ein Element von $X$ ist dann eine "Punktwolke"). Wir wollen jetzt Distanzen zwischen Punktwolken messen (z…

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto e^{(x^2)} + y^2$. Finde alle lokalen Extrema von $f$.

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto x^2 -3xy + y^2$. Finde alle lokalen Extrema von $f$.

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto x^2 + 2xy + y^2$. Finde alle lokalen Extrema von $f$.

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto x^4 - x^2 + y^2$. Finde alle lokalen Extrema von $f$.

Seien $n \in \natnum$ und $A,B \in \realnum^{n \times n}$. Wir schreiben $A \equiv_T B$, falls es eine invertierbare Matrix $M \in \realnum^{n \times n}$ gibt, so dass $A = MBM^{-1}$.

(1) Zeige, d…

Zeige, dass es keinen Körper mit $6$ Elementen gibt.