Potenzringe

Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring und sei $n \in \natnum_+$. Wir definieren $(R^n,+,\cdot)$ genau wie Produktstrukturen im Skript, nur dass wir dieses Mal zwei Operationen, $+$ und $\cdot$, haben, und beide komponentenweise auf Tupeln definieren.

(1) Zeige: $(R^n,+,\cdot)$ ist ein Ring.

Hinweis: Dafür darf natürlich der Satz über Produktstrukturen (welche nur eine Operation haben) aus dem Skript zitiert werden. Für Halbgruppen gilt dieser Satz analog, hier dürft ihr "die Assoziativität folgt wie im Beweis von Satz 5.6 gezeigt für Gruppen" schreiben.

(2) Zeige, falls $(K,+,\cdot)$ ein Körper ist, so ist $(K^2,+,\cdot)$ kein Körper.