Dreiecksungleichung für den Betrag

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Seien $x,y \in \realnum$. Dann gilt $|x+y| \leq |x| + |y|$ (die Dreiecksungleichung).

BEWEIS. Fall 1: $x+y \geq 0$. Dann ist $|x+y| = x+y \leq |x| + |y|$.

Fall 2: $x+y \leq 0$. Dann ist $|x+y| = -x+y \leq |-x| + |y| = |x| + |y|$.