Maximaler Spaß

Seien $x,y \in \realnum$. Zeige die folgenden Aussagen.
(1) $x \leq \max(x,y)$.
(2) $x \leq |x|$.
(3) $|\max(x,y)| \leq \max(|x|,|y|)$.
(4) Falls $x,y \geq 0$, so $\max(x,y) \leq x + y$.
(5) $\max(x,y) \leq |x| + |y|.$

Hinweis: Die (5) kann ohne Fallunterscheidung mit Rückgriff auf die vorigen Aussagenteile gelöst werden.