Sigmoid

Sei $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto \frac{x}{1+|x|}$. Zeige:
(1) Für alle $x \in \realnum$ ist $f(x) \in ]-1,1[$.
(2) $f$ ist Punktsymmetrisch um die $0$, das heißt, für alle $x$ gilt $f(-x) = -f(x)$.
(3) $f$ ist strikt monoton steigend.
(4) Für alle $x,y \in \realnum_+$ gilt $f(x+y) \leq f(x) + f(y)$.