Fehler in der Schranke

Finde den Fehler in folgendem Beweis. (Ihr müsst die Aussage nachher nicht korrekt beweisen.)

SATZ. Sei $x \in \realnum_+$. Dann gilt $\exp(-x) \leq 1 - \frac{x}{1+2x}$.

BEWEIS. Es gilt, mit der Monotonie von $\ln$, die zu zeigende Aussage genau dann, wenn $-x \leq \ln(1-x/(1+2x))$. Weiterhin gilt, dass $\ln(1+y) \leq y$, falls $y > -1$. Da $-x > -x-2$ gilt $-x/(x+2) > -1$ nach Division durch $x+2 > 0$. Somit können wir die Ungleichung mit $y = -x/(1+2x)$ nutzen. Dies ergibt $\ln(1-x/(1+2x)) \leq -x/(1+2x)$. Es gilt $-x \leq -x/(1+2x)$ genau dann, wenn $-x(1+2x) \leq -x$, also falls $-2x^2 \leq 0$, bzw. $0 \leq x^2$, was wahr ist.

Hinweis: Der Fehler lässt sich leichter finden, wenn ihr den Beweis sauber aufschreibt, insbesondere in der richtigen Leserichtung. Dafür sind Beweise und ein sauberer Aufschrieb ja da.