Intervallbilder

Als Erinnerung: Für jede Menge $X \subseteq \realnum$ ist $f(X)$ definiert als $\set{f(x)}{x \in X}$.

Zeige die folgende Aussage. Seien $a,b\in\realnum$ und sei $f: \realnum \rightarrow \realnum$ stetig.
Dann ist $f([a,b])$ zusammenhängend, zwischen je zwei Elementen aus $f([a,b])$ sind also nur Elemente aus $f([a,b])$.

Gib zusätzlich ein Beispiel für $a,b$ und $f$ an so, dass $f([a,b])$ ein Intervall ist und die Intervallgrenzen sind keine Elemente aus $\{f(a),f(b)\}$ sind.