Finde den Fehler in folgendem Beweis.
SATZ. Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ ableitbar. Dann ist $f \cdot g$ ist ableitbar und es gilt $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.
BEWEIS. Sei $x \in \realnum$. Dann gilt
\begin{align*}
&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} (f(x + \varepsilon) \cdot g(x + \varepsilon) - f(x) \cdot g(x))/\varepsilon)\\
=& \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} (f(x + \varepsilon) \cdot g(x + \varepsilon) -f(x)g(x+\varepsilon) + f(x)g(x+\varepsilon) - f(x) \cdot g(x))/\varepsilon\\
=& \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} (f(x + \varepsilon)- f(x)) \cdot g(x + \varepsilon)/\varepsilon + \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} f(x)(g(x+\varepsilon) - g(x))/\varepsilon\\
=& \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} (f(x + \varepsilon)- f(x))/\varepsilon \cdot \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} g(x + \varepsilon)/\varepsilon + \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} f(x)(g(x+\varepsilon) - g(x))/\varepsilon\\
&= f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
\end{align*}
