Betragsableitung I

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Die Betragsfunktion ist ableitbar.

BEWEIS. Sei $x_0 \in \realnum$. Dann gilt, mit der Dreiecksungleichung,
$$
\lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{|x_0+\Delta| - |x_0|}{\Delta} \leq \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{|x_0| + |\Delta| - |x_0|}{\Delta} = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{|\Delta|}{\Delta} = \lim_{\Delta \rightarrow 0} |1| = 1.
$$
Da der Grenzwert also für jedes $x_0$ existiert ist die Betragsfunktion insgesamt ableitbar.