Betragsableitung II

Finde den Fehler in folgendem Beweis.

SATZ. Die Betragsfunktion ist ableitbar.

BEWEIS. Sei $x_0 \in \realnum$. Nehmen wir nun an $x_0 < 0$. Wir wollen zeigen, dass es für alle $\varepsilon >0$ ein $\delta > 0$ gibt, so dass für alle $\Delta$ mit $|\Delta| \leq \delta$ gilt
$$
\left|\frac{|x_0+\Delta| - |x_0|}{\Delta} +1\right| \leq \varepsilon.
$$
Damit wäre der Limes von $\frac{|x_0+\Delta| - |x_0|}{\Delta}$ für $\Delta$ gegen $0$ dann $-1$.

Sei also $\varepsilon$ gegeben und wir setzen $\delta = |x_0|$. Dadurch stellen wir sicher, dass $x_0 + \Delta \leq 0$ für alle entsprechenden $\Delta$. Sei also $\Delta$ mit $|\Delta| \leq \delta$. Dann gilt $x_0 + \Delta \leq 0$, also
$$
\frac{|x_0+\Delta| - |x_0|}{\Delta} +1 = \frac{-(x_0+\Delta) + x_0}{\Delta} +1 = 0 \leq \varepsilon.
$$

Nehmen wir nun an $x_0 \geq 0$. Wir wollen zeigen, analog zum obigen Fall, dass es für alle $\varepsilon >0$ ein $\delta > 0$ gibt, so dass für alle $\Delta$ mit $|\Delta| \leq \delta$ gilt
$$
\left| \frac{|x_0+\Delta| - |x_0|}{\Delta} -1 \right| \leq \varepsilon.
$$
Damit wäre der Limes von $\frac{|x_0+\Delta| - |x_0|}{\Delta}$ für $\Delta$ gegen $0$ dann $1$.

Sei also $\varepsilon$ gegeben und wir setzen $\delta = |x_0|$. Dadurch stellen wir sicher, dass $x_0 + \Delta \geq 0$ für alle entsprechenden $\Delta$. Sei also $\Delta$ mit $|\Delta| \leq \delta$. Dann gilt $x_0 + \Delta \geq 0$, also
$$
\frac{|x_0+\Delta| - |x_0|}{\Delta} -1 = \frac{(x_0+\Delta) - x_0}{\Delta} - 1 = 0 \leq \varepsilon.
$$