Minimieren in zwei Dimensionen

Sei $f: \realnum^2 \rightarrow \realnum, (x,y) \mapsto x^2 - 3xy + y^2$. Wir wollen jetzt ein lokales Optimum von $f$ finden. Mache dazu folgende Schritte:

(1) Bestimme die partielle Ableitung nach x: $\frac{d}{dx} f(x,y)$.

(2) Bestimme die partielle Ableitung nach y: $\frac{d}{dy} f(x,y)$.

(3) Setze beide Ableitungen gleich $0$; welche $(x_0,y_0)$ erfüllen beide Gleichungen?

Es gibt genau einen Punkt $(x_0,y_0)$, welcher beide Gleichungen erfüllt, dieser könnte nun eine Extremstelle von $f$ sein.

(4) Bestimme die zweifache partielle Ableitung nach x: $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx} f(x,y)$. Zeige, dass diese in $(x_0,y_0)$ positiv ist.

(5) Bestimme die zweifache partielle Ableitung nach y: $\frac{d}{dy}\frac{d}{dy} f(x,y)$. Zeige, dass diese in $(x_0,y_0)$ positiv ist.

Der Punkt $(x_0,y_0)$ ist also ein lokales Minimum sowohl "in x-Richtung" wie auch "in y-Richtung". Ein lokales Maximum ist er definitiv nicht.

Damit bei $(x_0,y_0)$ ein lokales Minimum vorliegt, muss es ein $\varepsilon$ geben so, das für alle $(x,y)$ mit $|x-x_0| \leq \varepsilon$ und $|y-y_0| \leq \varepsilon$ gilt $f(x,y) \geq f(x_0,y_0)$. Mit den beiden Ableitungen haben wir bisher aber sozusagen nur Paare $(x,y_0)$ (also variables $x$ bei festem $y_0$) und $(x_0,y)$ (also variables $y$ bei festem $x_0$) abgetestet!

(6) Zeige nun, dass $(x_0,y_0)$ kein lokales Minimum ist. Mit anderen Worten, zeige: $\forall \varepsilon > 0 \exists x,y \in [-\varepsilon,\varepsilon]: f(x,y) < f(x_0,y_0)$.