Basisersetzung

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und seien $a,b \in V$ linear unabhängig. Bestimme für jede der folgenden Möglichkeiten, ob sie linear unabhängig sind.

(1) $\{a$, $b$, $a-b\}$.

(2) $\{a$, $-b\}$.

(3) $\{a$, $a+b\}$.

(4) $\{a+b$, $-a-b\}$.

(5) $\{a+b$, $a-b\}$.

Hinweis: Hier eine Beispiellösung, dass $-a$ und $3b$ linear unabhängig sind (wobei wir $K = \realnum$ annehmen, da es auch Körper gibt, in denen keine $3$ ist): Um dies zu zeigen, seien $x_1,x_2 \in K$ so, dass $x_1 (-a) + x_2(3b) = \underline{0}$ (dass also $x_1,x_2$ Koeffizienten einer Linearkombination der Null sind). Zu Zeigen ist nun, dass $x_1 = 0$ und $x_2 = 0$. Wir schlussfolgern $(-x_1) a + (3x_2)b = \underline{0}$. Damit haben wir nun eine Linearkombination der $0$, wobei die Vektoren $a$ und $b$ sind. Da $a$, $b$ linear unabhängig sind alle Koeffizienten einer Linearkombination der Null gleich Null, es gilt also $(-x_1) = 0$ und $(3x_2) = 0$. Daraus schlussfolgern wir nun $x_1= 0$ und $x_2=0$ wie gewünscht.