Basen sind Maximal Linear Unabhängig

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum und sei $B \subseteq V$. Zeige, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.

(1) $B$ ist Basis von $V$.

(2) $B$ ist maximal linear unabhängig (also $B$ ist linear unabhängig, aber Hinzufügen eines beliebigen Vektors $v \in V$ macht $B$ linear abhängig).