Basen bauen

Sei $(V,+)$ ein $K$-Vektorraum. Sei $B = \{ b_1, b_2, \dots, b_n\}$ eine Basis. Zeige: Es gibt ein $x \in V$ so, dass jede der Mengen
$$
\{x, b_2, \dots, b_n\}, \{b_1, x, \dots, b_n\}, \dots, \{b_1, b_2, \dots, b_{n-1}, x\}
$$
eine Basis von $V$ ist.