Bild und Kern

Seien $V,W$ endlichdimensionale Vektorräume und $\varphi: V \rightarrow W$ linear. Zeige

(1) Bild$(\varphi) = \set{\varphi(v)}{v \in V}$ ist ein Untervektorraum von $W$.

(2) dim(Bild$(\varphi)$) $+$ dim(Kern$(\varphi)$) $=$ dim$(V)$.

(3) Falls dim$(V) = $dim$(W)$, dann ist $\varphi$ injektiv genau dann, wenn $\varphi$ surjektiv ist.