Fibonacci als Matrix

Wir definieren $f_0 = 1 = f_1$ und, für alle $n \in \natnum$ rekursiv $f_{n+2} = f_{n+1} + f_n$. Die Folge $(f_n)_n$ nennt man auch die Fibonacci-Folge.

Zeige: Für alle $n \in \natnum$ gilt $\begin{pmatrix}1&1\\1&0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}f_{n+1}\\f_n\end{pmatrix}$.

Wir können also durch das Potenzieren einer Matrix Werte der Fibonacci-Folge berechnen.