Punktwolken Metrik II

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Schw.

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NormenMetriken

Aufgabe

Seien $n \in \natnum$ und $X$ die Menge aller endlichen Mengen von Punkten aus $\realnum^n$ (ein Element von $X$ ist dann eine "Punktwolke"). Wir wollen jetzt Distanzen zwischen Punktwolken messen (zum Beispiel könnten in der Computergraphik Objekte durch Punktwolken dargestellt sein). Sei weiterhin $d$ die euklidische Metrik auf $\realnum^n$.

Welche der folgenden Funktionen erfüllt welche der Metrikeigenschaften (M1), (M2), (M3)?

(1) $$d_1(A,B) = d(\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} a,\frac{1}{|B|} \sum_{b \in B} b).$$

(2) $$d_2(A,B) = \sum_{a \in A} \min\{d(a,b) \mid b \in B\}.$$

(3) $$d_3(A,B) = \sum_{a \in A} \min\{d(a,b) \mid b \in B\} + \sum_{b \in B} \min\{d(a,b) \mid a \in A\} .$$