Rationale Zahlen

Finde den Fehler in folgendem Beweis, dass die natürlichen Zahlen $\natnum$ und die rationalen Zahlen $\rationals$ gleichmächtig sind. Dabei wollen wir den Satz über die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung als gegeben annehmen, welcher besagt, dass jede natürliche Zahl genau auf eine Art (bis auf Vertauschung der Reihenfolge) als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann.

Beweis. Wir wollen den Satz von Cantor-Bernstein-Schröder anwenden, müssen also eine Injektion $f: \natnum \rightarrow \rationals$ und eine Injektion $g: \rationals \rightarrow \natnum$ finden.

Sei zunächst $f: \natnum \rightarrow \rationals, x \mapsto x$. Dann ist $f$ offensichtlich injektiv.

Sei nun $g: \rationals \rightarrow \natnum, \frac{z}{n} \mapsto 2^z3^n$. Wir wollen zeigen, dass $g$ injektiv ist, seien also rationale Zahlen $\frac{z}{n}$ und $\frac{a}{b}$ gegeben mit $g(\frac{z}{n}) = g(\frac{a}{b})$. Dann gilt $2^z 3^n = 2^a 3^b$. Dies sind zwei Möglichkeiten die gleiche Zahl als Produkt von Primzahlen zu schreiben. Aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung müssen diese Möglichkeiten gleich sein, es gilt also $z=a$ und $n=b$, somit auch $\frac{z}{n} = \frac{a}{b}$. Damit ist die Injektivität gezeigt.