Gruppeninverse

Finde den Fehler in folgendem Beweis. Sei $(G,\diamond)$ eine Gruppe und $e$ das neutrale Elemente der Gruppe. Dann hat jedes Element $g \in G$ ein eindeutiges inverses Element bezüglich $\diamond$.

BEWEIS. Sei $g \in G$. Da $(G,\diamond)$ eine Gruppe ist, existiert ein inverses Element zu $g$. Um zu zeigen, dass es eindeutig ist, seien $g'$ und $g''$ zwei inverse Elemente von $g$. Dann gilt

$g' = g' \diamond e = g' \diamond g'' \diamond g = e \diamond g'' = g''$. Damit sind die beiden Inversen gleich.