1 Potenzrechnung und Differentialrechnung

Version 1.0

In diesem Kapitel wollen wir kurz ein paar Grundlagen der Mathematik aus der Schule wiederholen.

1.1 Potenzrechnung

Als ersten Abschnitt erinnern wir uns an die Gesetze der Potenzrechnung. Bevor wir damit anfangen können müssen wir zunächst kurz Zahlbereiche festlegen.

Definition 1.1 [Zahlenbereiche]. Wir haben die folgenden Zahlbereiche.

Natürliche Zahlen: Mit $\natnum$ bezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen $0$, $1$, $2$ und so weiter.
Ganze Zahlen: Mit $\integers$ bezeichnen die Menge der ganzen Zahlen $0$, $1$, $-1$, $2$, $-2$ und so weiter.
Rationale Zahlen: Mit $\rationals$ bezeichnen wir die Menge der rationalen Zahlen, also der Zahlen, die sich als Bruch von ganzen Zahlen darstellen lassen: $\frac{n}{m}$ wobei $n$ eine ganze Zahl und $m$ eine natürliche Zahl ungleich $0$ ist.
Reelle Zahlen: Mit $\realnum$ bezeichnen wir die reellen Zahlen, also Zahlen mit beliebig vielen Stellen in der Dezimalschreibweise: Gegeben eine ganze Zahl $z$ und gegeben, für alle natürlichen Zahlen $i$ ohne $0$, eine Ziffer $x_i$ zwischen $0$ und $9$ schreiben wir dann in der Dezimalschreibweise: $$ z,x_1 x_2 x_3.... $$
Intervalle: Seien $a \lt b$ zwei reelle Zahlen. Dann bezeichnen wir mit $[a,b]$ das abgeschlossene Intervall von $a$ bis $b$, also die Menge aller reellen Zahlen $x$ mit $a \leq x \leq b$. Mit $(a,b)$ bezeichnen wir das offene Intervall von $a$ bis $b$, also die Menge aller reellen Zahlen $x$ mit $a \lt x \lt b$. Wir erlauben $a = -\infty$ oder $b = \infty$ mit der kanonischen Bedeutung.

Addition und Multiplikation nehmen wir als bekannt an, dann können wir das Potenzieren mit ganzen Zahlen zunächst wie folgt definieren.

Definition 1.2 [Potenzierung]. Für jede reelle Zahl $r$ definieren wir $r^0 = 1$ und, für alle natülrichen Zahlen $i$ definieren wir rekursiv $r^{i+1} = r \cdot r^i$. Insbesondere ist also $r^i$ dann das Produkt von $i$ Faktoren, die alle $r$ sind. Weiterhin definieren wir, für alle natürlichen Zahlen $i$, $r^{-i} = 1/r^i$.

Das schöne an diesen Definitionen ist, dass man dadurch sehr schön damit rechnen kann, wie wir im kommenden Satz sehen werden. Vorher wollen wir aber noch kurz über andere Exponenten sprechen.

Man kann die Definitionen noch erweitern, so dass auch $r^x$ definiert ist wenn $r$ eine reelle Zahl größer $0$ ist und $x$ eine beliebige reelle Zahl. Das können wir im Rahmen dieser Veranstaltung nicht formal machen, dazu verweisen wir auf vertiefende Veranstaltungen. Trotzdem wollen wir damit rechnen lernen, da dies in der Informatik sehr wichtig ist.

Satz 1.3 [Potenzrechenregeln]. Es gelten die folgenden Rechengesetze für alle $a,b \in \realnum_+$ und $x,y,r \in \realnum$.

$b^{x+y} = b^xb^y$.
$b^{x-y} = \frac{b^x}{b^y}$.
$(b^{x})^y = b^{xy}$.
$a^xb^{x} = (ab)^x$.

Eine Spezialform des Potenzierens ist das Ziehen von Wurzeln. Um die Quadratwurzel zu ziehen, wird nun mit $1/2$ potenziert. Mit den Potenzrechenregeln von oben gilt dann zum Beispiel $\sqrt{x}^2 = (x^{1/2})^2 = x^{1/2 \cdot 2} = x^1 = x$ genau so, wie es für Wurzel gelten soll. [Kommentar: Hierbei ist zu beachten, dass dies nur für positive $x$ so geht, wie ja auch bei den Potenzrechenregeln angemerkt.]

Gewissermaßen das Gegenstück zur Addition ist die Subtraktion; ähnlich ist das Gegenstück zur Multiplikation die Division. Als nächstes Wiederholen wir das Logarithmieren als Gegenstück zum Potenzieren.

Definition 1.4 [Logarithmus]. Für jede positive reelle Zahl $b$ und jede positive reelle Zahl $r$ definieren wir $\log_b(r)$ (den Logarithmus von $r$ zur Basis $b$) als diejenige Zahl $x$ für die gilt $b^x = r$.

Um mit Logarithmen umgehen zu können, haben wir auch hier ein paar Rechenregeln.

Satz 1.5 [Logarithmusrechenregeln]. Es gelten die folgenden Rechengesetze für alle $a,b,c \in \realnum_+$ und $x,y,r \in \realnum$.

$b^{\log_b(x)} = x = \log_b(b^x)$.
$b^{x} = a^{x \log_a(b)}$.
$\log_b(a\cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c)$.
$\log_b(\frac{a}{c}) = \log_b(a) - \log_b(c)$.
$\log_b(a^y) = y \cdot \log_b(a)$.
$\log_b(c) = \frac{\log_a(c)}{\log_a(b)}$.

Die letzte Regel nennt man auch einen Basiswechsel.

Eine besondere Stellung nimmt beim Potenzieren und Logarithmieren die Basis $e$ ein, die Eulersche Zahl.

Definition 1.6 [Eulersche Zahl]. Mit $e$ bezeichnen wir die Eulersche Zahl. Ihr Wert ist ungefähr $2,71828$.

Eine weitere sehr wichtige Formel aus der Schulmathematik ist die $p$-$q$-Formel zum Auflösen von quadratischen Gleichungen.

Satz 1.7 [Mitternachtsformel, $p$-$q$-Formel]. Seien $p,q \in \realnum$. Falls $(p/2)^2-q \geq 0$, dann hat die Gleichung $$ x^2 + px + q = 0 $$ als Menge an möglichen Lösungen für $x$ die Werte

$-p/2 + \sqrt{(p/2)^2-q}$; sowie
$-p/2 - \sqrt{(p/2)^2-q}$.

Falls $(p/2)^2-q \lt 0$, so hat die Gleichung keine (reellwertige) Lösung für $x$.
Die Gleichung $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ kann man durch Teilen durch $a$ in die obere Form überführen und dementsprechend Lösungen mit $p = b/a$ und $q=c/a$ finden.

1.2 Differentialrechnung

Auch aus der Schule wiederholen wir ein paar Grundlagen der Differentialrechnung, auch bekannt als Ableiten. Dabei geht es für uns zunächst darum, Funktionen $f: \realnum \rightarrow \realnum$ abzuleiten. Die Ableitung einer solchen Funktion ist wieder eine Funktion $f': \realnum \rightarrow \realnum$, welches jeder reellen Zahl $x$ als Wert $f'(x)$ die Steigung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet. Die Ableitung $f'$ kann man nun wiederum ableiten, wodurch wir die zweiten Ableitung $f''$ erhalten. Weitere Ableitungen werden dann iterativ gebildet. Das machen wir später formal, jetzt wollen wir uns nur an ein paar Rechenregeln für das Ableiten erinnern.

Beispiel 1.8 [Ableitungen ausgewählter Funktionen]. Es gelten die folgenden Aussagen.

Sei $c \in \realnum$ und $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto c$. Dann ist $f'(x) = 0$.
Sei $r \in \realnum$ und $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto x^r$. Dann ist $f'(x) = r \cdot x^{r-1}$.
Sei $b \in \realnum_+$ und $f: \realnum \rightarrow \realnum, x \mapsto b^x$. Dann ist $f'(x) = \log_e(b) b^x$.
Sei $b \in \realnum_+$ und $f: \realnum_+ \rightarrow \realnum, x \mapsto \log_b(x)$. Dann ist $f'(x) = 1/(x \log_e(b))$.

Aus diesen Beispielen lassen sich über Addition und Multiplikation von Fuktionen nun zum Beispiel auch beliebige Polynomfunktionen bauen; wie sich die Ableitungen von Summen und Produkten von Funktionen verhalten, lernen wir im nächsten Satz.

Satz 1.9 [Ableitung von zusammengesetzen Funktionen]. Seien $f,g: \realnum \rightarrow \realnum$ ableitbar. Es gelten die folgenden Aussagen.

Summenregel: Die Ableitung $(f+g)'$ von der Funktion $f+g$ ist $(f+g)' = f' + g'$.
Produktregel: Die Ableitung $(f \cdot g)'$ von der Funktion $f\cdot g$ ist $(f \cdot g)' = f'g + fg'$.
Quotientenregel: Die Ableitung $(f / g)'$ von der Funktion $f / g$ ist $(f / g)' = (f'g - fg') / g^2$.
Kettenregel: Die Ableitung $(f \circ g)'$ von der Funktion $f\circ g$ ist $(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'$.

Mit Beispiel 1.8 [Ableitungen ausgewählter Funktionen] und Satz 1.9 [Ableitung von zusammengesetzen Funktionen] lassen sich jetzt beliebige Polynomfunktionen ableiten, wie wir in dem folgenden Beispiel sehen.

Beispiel 1.10 [Ableitungen einer Polynomfunktion]. Sei $f: \realnum \rightarrow \realnum$ so, dass für alle $x \in \realnum$ gilt $$ 2x^3 + 42 x^2 + 19 x + 7. $$ Dann gilt, für alle $x \in \realnum$, $$ f'(x) = 6x^2 + 84x + 19. $$ Ähnlich kann man beliebige andere Polynomfunktionen ableiten.

Das Ableiten von Funktionen ist unglaublich nützlich. Das sehen wir an den folgeden beiden Sätzen, die aus Eigenschaften der Ableitung Eigenschaften der ursprünglichen Funktion erkennen.

Definition 1.11. Sei $f: \realnum \rightarrow \realnum$ eine Funktion. Wir definieren die folgenden Eigenschaften.

Monoton (steigend): $\forall x,y \in \realnum: x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$.
Streng monoton (steigend): $\forall x,y \in \realnum: x \lt y \Rightarrow f(x) \lt f(y)$.
Monoton fallend: $\forall x,y \in \realnum: x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y)$.
Streng monoton fallend: $\forall x,y \in \realnum: x \lt y \Rightarrow f(x) \gt f(y)$.

Insbesondere sind monoton und monoton steigend synonym. Falls diese Eigenschaften nicht für beliebige $x,y \in \realnum$ gelten sondern nur auf einer Teilmenge $A$, so hängen wir "auf $A$" an (also zum Beispiel "monoton auf den positiven reellen Zahlen").

Satz 1.12 [Monotonie durch Ableitung]. Seien $f: \realnum \rightarrow \realnum$ und $[a,b]$ ein Intervall der reellen Zahlen. Dann gelten die folgenden Aussagen.

Falls, für alle $x \in (a,b)$ gilt, $f'(x) \gt 0$, dann ist $f$ streng monoton steigend auf dem Intervall $[a,b]$.
Falls, für alle $x \in (a,b)$ gilt, $f'(x) \geq 0$, dann ist $f$ monoton steigend auf dem Intervall $[a,b]$.
Falls, für alle $x \in (a,b)$ gilt, $f'(x) \lt 0$, dann ist $f$ streng monoton fallend auf dem Intervall $[a,b]$.
Falls, für alle $x \in (a,b)$ gilt, $f'(x) \leq 0$, dann ist $f$ monoton fallend auf dem Intervall $[a,b]$.

Satz 1.13 [Extrema]. Seien $f: \realnum \rightarrow \realnum$ und $x$ eine reelle Zahl. Dann gelten die folgenden Aussagen.

Notwendige Bedingung: Falls $x$ ein lokales Extremum von $f$ ist, so ist $f'(x)=0$.
Hinreichende Bedingung: Falls $f'(x) = 0$ und $f''(x) \neq 0$, so ist an der Stelle $x$ ein lokales Extremum von $f$; falls $f''(x) \gt 0$, so ist an der Stelle $x$ ein lokales Minimum, ansonsten ein lokales Maximum.

Um mit Ableitungen noch einfacher arbeiten zu können, gibt es noch eine Notation mit der man schnell zeigen kann, wonach man ableiten möchte (alle anderen Variablen werden dann einfach wie feste Zahlen behandelt), diese wollen wir nun auch noch kurz kennenlernen (sie ist typischerweise kein Schulstoff, aber eigentlich auch nur eine nützliche Kurzschreibweise).

Definition 1.14 [Partielle Ableitung]. Sei $f: \realnum^3 \rightarrow \realnum$ eine Funktion. Wir schreiben dann $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,y,z)$ wenn wir $f$ nach der ersten Variable, also nach $x$, ableiten wollen; ähnlich schreiben wir $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x,y,z)$ und $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}f(x,y,z)$ für Ableitungen nach der zweiten bzw. dritten Variablen.

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