Logarithmen

In der Analyse von Algorithmen untersuchen wir Wachstumsprozesse. Das wohl prominenteste Beispiel ist die Laufzeitanalyse. Dort wird das Verhältnis von Eingabegröße zur Lösungszeit eines Algorithmus abgeschätzt. Dabei treten häufig Logarithmen auf, sodass ein sicherer Umgang mit ihnen eine Voraussetzung für eine erfolgreiche Algorithmenanalyse ist.

Hier werden wir die Definition von Logarithmen herleiten und die wichtigsten Rechenregeln vorstellen und üben.

Definition und Eigenschaften

Zunächst einmal handelt es sich bei einem Logarithmus um eine (einstellige) Funktion — ganz so wie zum Beispiel \(f(x) = 2x + 5\). Genauer gesagt, handelt es sich jeweils um die Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion. Daher werden wir nun kurz mit Exponentialfunktionen beginnen und den Begriff des Logarithmus parallel dazu definieren und entwickeln.

Exponentialfunktion

Um den Charakter einer Exponentialfunktion genauer zu betrachten, wollen wir uns erst einmal wieder klar machen, was eine Potenz \(b^e\) zweier Zahlen \(b\) und \(e\) ist (gesprochen: \(b\) hoch \(e\)). In der folgenden Veranschaulichung beschränken wir uns dabei auf natürliche Werte für \(e\). Generell ist eine Potenz jedoch für beliebige relle Zahlen definiert. Sie hat die Gestalt \[ b^e = \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{e\textrm{ viele}}\quad \left(= \prod_{i = 1}^{e}b\right)\ . \] Dabei wird \(b\) als Basis bezeichnet und \(e\) als Exponent.

Es handelt sich also um eine Kurzschreibweise für eine mehrfache Multiplikation derselben Zahl. Das ist ähnlich zur Multiplikation, welche ja selbst wiederum eine Kurzschreibweise für mehrere Additionen ist. Und da das sogenannte Potenzieren über die Multiplikation definiert ist, ist es mathematisch sinnvoll, \(b^0\) als das neutrale Element der Multiplikation, also als \(1\) zu definieren.¹

Anders als bei der Addition oder der Multiplikation gilt aber im Allgemeinen nicht \(\, b^e = e^b\). So ist zum Beispiel \(2^3 = 8\), wohingegen \(3^2 = 9\) ist. Potenzieren ist also nicht kommutativ! Es macht also einen Unterschied, ob man die Basis ändert oder aber den Exponenten. Das hat zur Folge, dass es zwei Arten von Funktionen gibt: einmal jene, bei der die Basis variabel, der Exponent aber fest ist, und einmal jene, bei der zwar die Basis feststeht, der Exponent sich jedoch ändert.

Funktionen, bei denen die Basis die Veränderliche ist, nennt man Potenzfunktionen. Sie haben die Gestalt \(f(b) = b^e\), wobei \(e\) eine beliebige reelle Zahl ist. Die anderen Funktionen sind die Exponentialfunktionen. Sie hängen folglich von \(e\) ab: \(f(e) = b^e\). Hierbei wollen wir uns nur auf positive reele Werte für \(b\) beschränken. Zudem geben wir der Potenz \(b^e\) den Namen \(r\), also \(r = b^e\).

Nun können wir uns zunächst einmal ein paar Beispiele für Exponentialfunktionen anschauen. Wir sehen, dass die Funktion für Werte von \(b\) größer als \(1\) streng monoton wächst und sogar umso stärker wächst, je größer die Basis ist. Je kleiner \(e\) wird, umso kleiner wird auch \(r\). Allerdings bleibt dieser Wert immer positiv! Die Funktionen nähern sich also asymptotisch der \(0\) für \(e\) gegen \(-\infty\).

Wird \(b\) nun kleiner als \(1\), spiegelt sich die Funktion an der \(r\)-Achse. Sie fällt nun also streng monoton — schneller für eine kleinere Basis. Nun nähert sie sich der \(0\) für \(e\) gegen \(+\infty\).

Bei \(b = 1\) liegt dann gerade der Wendepunkt. \(1^e\) ist daher in dieser Hinsicht ein Außenseiter, da sie konstant \(1\) ist.

Wichtig ist, dass all diese Funktionen auf komplett \(\mathbb{R}\) definiert sind und sie die \(r\)-Achse stets bei \(1\) schneiden (schließlich haben wir \(b^0\) als \(1\) definiert). Für \(e < 0\) sind die Werte immer entweder alle kleiner oder alle größer als \(1\), je nachdem ob \(b\) größer als \(1\) oder kleiner als \(1\) ist. Für \(e > 0\) verhält es sich dann genau umgekehrt.

Diese Erkenntnisse sind relevant, wenn wir nun zu den Logarithmen kommen.

Logarithmusfunktion

Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion. Das ist auch schon alles. Sie sind dahingehend ähnlich zu den Wurzelfunktionen, welche die Umkehrfunktionen zu Potenzfunktionen bilden.

Da wir nach dem Exponenten umkehren, heißt das also, dass uns bei einer Logarithmusfunktion die Basis \(b\) und die Potenz (beim Logarithmus spricht man dann vom Numerus) \(r\,(= b^e)\) bekannt sind, wir aber \(e\) nicht kennen. Unsere Variable bildet hierbei der Numerus \(r\).

Den so entstehenden Logarithmus schreiben wir als \(\log_b(r)\) (gesprochen: Logarithmus von \(r\) zur Basis \(b\)) und verlangen formal einfach \[ \log_b(r) = e \Leftrightarrow r = b^e\ . \]

Wichtige grundlegende Eigenschaften folgen nun direkt aus den Eigenschaften der Exponentialfunktionen. Schauen wir uns dazu also wieder ein paar Beispiele an. Wir werden nun nur den Fall für \(b > 1\) untersuchen, aber aus den Beobachtungen zur Exponentialfunktion und dem Bild für \(b < 1\) kannst du dir die Eigenschaften für den anderen Fall selbst herleiten.

Da bei \(b^e = r\) die Potenz \(r\) stets gewachsen ist, wenn der Exponent \(e\) gewachsen ist, verhält sich das bei den Logarithmen nun genauso. Wenn also \(r\) wächst, wächst dementsprechend auch \(e\).

Außerdem haben wir davor gesehen, dass \(r\) gegen \(0\) ging für \(e\) gegen \(-\infty\). Vertauschen wir für den Logarithmus nun die Rollen von \(r\) und \(e\), heißt das einfach, dass der Logarithmus, also \(e\), gegen \(-\infty\) geht, wenn der Numerus \(r\) gegen \(0\) geht. Das sieht man auch deutlich im Bild.

Eine dazu analoge Folgerung ist, dass der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen definiert ist! Dafür nimmt er hingegen alle Werte in \(\mathbb{R}\) an — also sowohl positive als auch negative. Die einzige Nullstelle (hier tritt die Wendung von negativen zu positiven Werten auf) ist bei \(r = 1\). Das war der Schnittpunkt, den die Exponentialfunktionen mit der \(r\)-Achse hatten.

Dir ist vielleicht schon aufgefallen, dass der Logarithmus für \(b = 1\) nicht in den Bildern zu sehen ist. Das liegt ganz einfach daran, dass \(1^e\) konstant \(1\) und daher nicht eindeutig umkehrbar ist. Würde man die Kurve einzeichnen, wäre es eine senkrechte Linie durch \(r = 1\). Diese Kurve weist \(r = 1\) also keinen eindeutigen Punkt zu und ist deswegen keine Funktion. Wir schließen daher ab jetzt für Logarithmen \(b = 1\) immer aus.

Zuletzt wollen wir noch zwei Eigenschaften betrachten, die eigentlich trivial sind. Sie besagen lediglich, dass sich eine Funktion und ihre Umkehrfunktion gegenseitig aufheben. Das entspricht ja gerade der Definition einer Umkehrfunktion. Schreibt man es auf, ergibt sich \[ b^{\log_b(r)} = r~~~~~\textrm{und} \] \[ \log_b\left(b^e\right) = e\ .~~~~~ \]

Logarithmusgesetze

In den folgenden Abschnitten werden wir uns mit verschiedenen Rechenregeln für Logarithmen beschäftigen. Dazu solltest du dir jeweils zunächst die entsprechenden Videos anschauen, bevor du weiterliest. In jedem der Videos wird ein Gesetz hergeleitet und es werden ein paar Beispiele durchgerechnet, um mit dem jeweiligen Gesetz vertraut zu werden.

Addition von Logarithmen

Gerade eben hast du gesehen, wie sich das Potenzgesetz \(\,b^{e_1}\cdot b^{e_2} = b^{e_1 + e_2}\) auf Logarithmen übertragen lässt. \[ \log_b(r_1\cdot r_2) = \log_b(r_1) + \log_b(r_2) \]

Diese Regel ist sehr hilfreich, da man damit eine Multiplikation auf eine Addition zurückführen kann (oder natürlich auch umgekehrt).² Das hat den Vorteil, dass man sich somit für die Rechenoperation entscheiden kann, welche in einer gewissen Situation mehr Nutzen zu haben scheint.

Nun versuche dich einmal selbst an den folgenden Übungsaufgaben.

• Löse nach \(x\colon\) \(\quad \log_7(7x) = 3\)
• Löse nach \(x\colon\) \(\quad \frac{3}{4}\log_9(x) = -\frac{1}{4}\log_9(81x)\)
• Drücke \(x\) als einen einzigen Logarithmus aus: \(\quad \log_2\left(\frac{3}{2}\right) = x - 1\)

Subtraktion von Logarithmen

Schauen wir uns noch einmal das Gesetz \(\,b^{e_1}\cdot b^{e_2} = b^{e_1 + e_2}\) an, stellt sich vielleicht die Frage, ob wir für \(e_1\) bzw. \(e_2\) nicht auch negative Werte einsetzen können. In den Abbildungen zu Exponentialfunktionen haben wir zumindest gesehen, dass \(b^{-e}\) eine positive reelle Zahl ergibt. Folgende Überlegung erklärt auch ganz einfach, warum:

Nehmen wir einfach einmal \(e_2 = -e_1\) an. Unser Potenzgesetz besagt dann \[ b^{e_1}\cdot b^{-e_1} = b^{e_1 - e_1} = b^0 = 1\ . \] Stellen wir diese Gleichung nach \(b^{-e_1}\) um, erhalten wir \(b^{-e_1} = \tfrac{1}{b^e}\). Das nehmen wir nun als Ausgangspunkt für die Definition \[ b^{-e} = \frac{1}{b^e}\ . \] Das hat vor allem auch die schöne Eigenschaft, dass \(b^{-(-e)} = b^{e}\) gilt.

Damit können wir nun also unser Potenzgesetz entsprechend umformulieren: \[ \frac{b^{e_1}}{b^{e_2}} = b^{e_1 - e_2}\ . \] Und da sich eigentlich nur das Vorzeichen von \(e_2\) ändert, lässt sich daraus komplett analog zum Video das folgende Logarithmusgesetz erschließen: \[ \log_b\left(\frac{r_1}{r_2}\right) = \log_b(r_1) - \log_b(r_2)\ . \]

Ein positives Vorzeichen im Exponenten (also vom Logarithmus) lässt sich somit in eine Multiplikation übersetzen, ein negatives in eine Division.³

Anmerkung zur ersten Übungsaufgabe zu den Logarithmen: Beim Vorziehen der \(2\) von \(x^2\) schränken wir den Lösungsbereich nur noch auf \(x > 0\) ein, da der Numerus positiv sein muss. \(x = 0\) können wir damit auch sofort ausschließen. Es bleibt also noch, dieselbe Rechnung mit \(-x\) anstatt \(x\) durchzuziehen. Dadurch erhalten wir dann auch die zweite Lösung von \(x_2 = -9.\)

Da sich das Potenzieren einer Potenz als eine einzige Potenz ausdrücken lässt — das besagt \(\left(b^{e_1}\right)^{e_2} = b^{e_2\cdot e_1}\) — lässt sich entsprechend auch der Logarithmus einer Potenz als ein einziger Logarithmus ausdrücken.⁴ \[ \log_b\left(r^{e_2}\right) = e_2\cdot\log_b(r) \]

Löse nun am besten diese Übungsaufgaben, um vertrauter mit den Gesetzen zu werden.

• Löse nach \(x\colon\) \(\quad 4\log_{15{,}3}(2) = \log_{15{,}3}(x)\)
• Löse nach \(x\colon\) \(\quad \log_8\left(x^{\frac{1}{3}}\right) = -\frac{1}{9}\)
• Löse nach \(x\colon\) \(\quad \frac{\log_3(5x)}{\log_6(49)} = \log_7(6)\)
• Zeige, dass \(x^{\log_b(y)} = y^{\log_b(x)}\) gilt

Anmerkung zur zweiten Übungsaufgabe zu den Logarithmen: Wegen der Basis von \(2^x\) beim rechten Logarithmus schließen wir \(x = 0\) natürlich aus, denn ein Logarithmus zu einer Basis von \(1 = 2^0\) ist nicht definiert. Demnach können wir später auch bedenkenlos mit \(x\) multiplizieren.

Die Basistransformation ist eine wichtige Rechenregel für Logarithmen, da er erlaubt verschiedene Logarithmen ineinander umzuwandeln. \[ \log_{b_1}(r) = \frac{\log_{b_2}(r)}{\log_{b_2}(b_1)} \] Eine besondere Erkenntnis hierbei ist, dass nur einer der beiden Logarithmen auf der rechten Seite von \(r\) abhängt. Der zweite ist nur von den beiden Basen \(b_1\) und \(b_2\) abhängig.

Auch wenn es im Video nicht erklärt wurde, kann man die Basistransformation von Logarithmen über die Basistransformation von Potenzen herleiten. Das ergibt sich daraus, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, und aus dem Potenzgesetz zum Potenzieren von Potenzen. \[ {b_1}^e = \left({b_2}^{\log_{b_2}(b_1)}\right)^e = {b_2}^{e\cdot\log_{b_2}(b_1)}\ . \] Wir haben also auch hier wieder den Skalierungsfaktor \(\log_{b_2}(b_1)\) stehen. Dieses Mal als echten Faktor und nicht als Divisor wie bei den Logarithmen.

Da du nun alle wichtigen Eigenschaften und Rechenregeln für Logarithmen kennst, versuch dich doch einfach an diesen Übungsaufgaben.

• Bringe den folgenden Term in die Form \(21^{y(x)}\colon\) \(\quad {\left(x^x\right)}^{\log_{x}(22)}\)
• Bestimme \(b_2\) so, dass sich der folgende Term als \(\log_{b_2}(r)\) ausdrücken lässt: \(\quad e_2\cdot \log_b(r)\)
• Bestimme den folgenden Grenzwert in Abhängigkeit von \(e \in \mathbb{R}^+\) und \(b \in \mathbb{R}^+ \smallsetminus \{1\}\colon\) \(\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^e}{\log_b(x)}\)

Umformen mit Logarithmen

Formt man beispielsweise eine Gleichung um, bedeutet das nur, dass man beide Seiten mit derselben Funktion transformiert. So entspricht eine Umformung, die auf beiden Seiten \(5\) abzieht, einer Transformation mit der Funktion \(f(x) = x - 5\). Benutzt man nun als eine solche Funktion einen Logarithmus, nennt man das logarithmieren.

Wenn du dir noch einmal die Bilder von vorher vor Augen hältst, wirst du sehen, dass Exponentialfunktionen eineindeutige Abbildungen sind, sogenannte Bijektionen. Das heißt, dass auch Logarithmen Bijektionen sind.

Das Schöne an Bijektionen ist, dass die transformierte Gleichung genau dann wahr ist, wenn es die Ursprungsgleichung ist. Es können also keine Scheinlösungen auftreten, wie es zum Beispiel beim Quadrieren der Fall ist. Dahingehend ist das Logarithmieren also komplett unbedenklich.

Etwas aufpassen muss man jedoch, wenn man Ungleichungen umformt. Dann kommt nämlich die Monotonie ins Spiel. Wir hatten zu Beginn schon einmal angesprochen, dass Exponentialfunktionen mit einer Basis größer als \(1\) streng monoton wachsen, wohingegen jene mit einer Basis kleiner als \(1\) streng monoton fallen. Dasselbe gilt demnach auch für Logarithmen. Das heißt dann auch, dass eine Umformung mit einem Logarithmus (oder einer Exponentialfunktion) zur Basis größer als \(1\) das Relationszeichen einer Ungleichung nicht umkehrt, eine Umformung mit einer Basis kleiner als \(1\) hingegen schon!

Das folgende Beispiel soll links und rechts zwei verschiedene Lösungswege zeigen. Einmal ändert sich das Relationszeichen, einmal nicht!

Wir sehen, dass beide Wege gleichermaßen zum Ziel führen.

Was haben wir gelernt?

• Logarithmen sind einfach nur Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen
• Es gibt nur ein paar Gesetze, analog zu Potenzgesetzen
• Logarithmieren ist eine äquivalente Umformung
• Logarithmen sind nicht böse

1Eine Ausnahme bildet \(0^0\), was nicht definiert ist. Die Beweggründe dafür sind ähnlich wie bei \(\tfrac{0}{0}\). Dieser Fall ist für unsere Betrachtungen jedoch nicht von Bedeutung.↩

2Nach diesem Prinzip funktionieren übrigens Rechenschieber. Dort wird eine Multiplikation auf eine Addition der Längen der Stäbe zurückgeführt. Das funktioniert wegen der dort verwendeten logarithmischen Skala der Zahlen.↩

3Wir werden später auch sehen, dass ein negatives Vorzeichen eines Logarithmus tatsächlich einer Basis kleiner als \(1\) entspricht. Das wiederum lässt sich in einen negativen Exponenten beim Potenzieren übersetzen, was letzten Endes einer Division entspricht.↩

4Laut diesem Gesetz benötigt der Logarithmus noch einen Faktor. Im nächsten Abschnitt werden wir dann aber sehen, dass der sich in einen anderen Logarithmus übersetzen lässt.↩