Logarithmus einer Potenz

Anmerkung zur ersten Übungsaufgabe zu den Logarithmen: Beim Vorziehen der \(2\) von \(x^2\) schränken wir den Lösungsbereich nur noch auf \(x > 0\) ein, da der Numerus positiv sein muss. \(x = 0\) können wir damit auch sofort ausschließen. Es bleibt also noch, dieselbe Rechnung mit \(-x\) anstatt \(x\) durchzuziehen. Dadurch erhalten wir dann auch die zweite Lösung von \(x_2 = -9.\)

Da sich das Potenzieren einer Potenz als eine einzige Potenz ausdrücken lässt — das besagt \(\left(b^{e_1}\right)^{e_2} = b^{e_2\cdot e_1}\) — lässt sich entsprechend auch der Logarithmus einer Potenz als ein einziger Logarithmus ausdrücken.⁴ \[ \log_b\left(r^{e_2}\right) = e_2\cdot\log_b(r) \]

Löse nun am besten diese Übungsaufgaben, um vertrauter mit den Gesetzen zu werden.

• Löse nach \(x\colon\) \(\quad 4\log_{15{,}3}(2) = \log_{15{,}3}(x)\)
• Löse nach \(x\colon\) \(\quad \log_8\left(x^{\frac{1}{3}}\right) = -\frac{1}{9}\)
• Löse nach \(x\colon\) \(\quad \frac{\log_3(5x)}{\log_6(49)} = \log_7(6)\)
• Zeige, dass \(x^{\log_b(y)} = y^{\log_b(x)}\) gilt

Hier geht es zum letzten Abschnitt.