Hasso-Plattner-Institut
  
Hasso-Plattner-Institut
Prof. Dr. Tobias Friedrich
  
 

Basistransformation

Anmerkung zur zweiten Übungsaufgabe zu den Logarithmen: Wegen der Basis von \(2^x\) beim rechten Logarithmus schließen wir \(x = 0\) natürlich aus, denn ein Logarithmus zu einer Basis von \(1 = 2^0\) ist nicht definiert. Demnach können wir später auch bedenkenlos mit \(x\) multiplizieren.

Die Basistransformation ist eine wichtige Rechenregel für Logarithmen, da er erlaubt verschiedene Logarithmen ineinander umzuwandeln. \[ \log_{b_1}(r) = \frac{\log_{b_2}(r)}{\log_{b_2}(b_1)} \] Eine besondere Erkenntnis hierbei ist, dass nur einer der beiden Logarithmen auf der rechten Seite von \(r\) abhängt. Der zweite ist nur von den beiden Basen \(b_1\) und \(b_2\) abhängig.

Auch wenn es im Video nicht erklärt wurde, kann man die Basistransformation von Logarithmen über die Basistransformation von Potenzen herleiten. Dieser ergibt sich daraus, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, und aus dem Potenzgesetz zum Potenzieren von Potenzen. \[ {b_1}^e = \left({b_2}^{\log_{b_2}(b_1)}\right)^e = {b_2}^{e\cdot\log_{b_2}(b_1)}\ . \] Wir haben also auch hier wieder den Skalierungsfaktor \(\log_{b_2}(b_1)\) stehen. Dieses Mal als echten Faktor und nicht als Divisor wie bei den Logarithmen.

Da du nun alle wichtigen Eigenschaften und Rechenregeln für Logarithmen kennst, versuch dich doch einfach an diesen Übungsaufgaben.

  • Bringe den folgenden Term in die Form \(21^{y(x)}\colon\) \(\quad {\left(x^x\right)}^{\log_{x}(22)}\)
  • Bestimme \(b_2\) so, dass sich der folgende Term als \(\log_{b_2}(r)\) ausdrücken lässt: \(\quad e_2\cdot \log_b(r)\)
  • Bestimme den folgenden Grenzwert in Abhängigkeit von \(e \in \mathbf{R}^+\) und \(b \in \mathbf{R}^+ \smallsetminus \{1\}\colon\) \(\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^e}{\log_b(x)}\)

Umformen mit Logarithmen

Formt man beispielsweise eine Gleichung um, bedeutet das nur, dass man beide Seiten mit derselben Funktion transformiert. So entspricht eine Umformung, die auf beiden Seiten \(5\) abzieht, einer Transformation mit der Funktion \(f(x) = x - 5\). Benutzt man nun als eine solche Funktion einen Logarithmus, nennt man das logarithmieren.

Wenn du dir noch einmal die Bilder von vorher vor Augen hältst, wirst du sehen, dass Exponentialfunktionen eineindeutige Abbildungen sind, sogenannte Bijektionen. Das heißt, dass auch Logarithmen Bijektionen sind.

Das Schöne an Bijektionen ist, dass die transformierte Gleichung genau dann wahr ist, wenn es die Ursprungsgleichung ist. Es können also keine Scheinlösungen auftreten, wie es zum Beispiel beim Quadrieren der Fall ist. Dahingehend ist das Logarithmieren also komplett unbedenklich.

Etwas aufpassen muss man jedoch, wenn man Ungleichungen umformt. Dann kommt nämlich die Monotonie ins Spiel. Wir hatten zu Beginn schon einmal angesprochen, dass Exponentialfunktionen mit einer Basis größer als \(1\) streng monoton wachsen, wohingegen jene mit einer Basis kleiner als \(1\) streng monoton fallen. Dasselbe gilt demnach auch für Logarithmen. Das heißt dann auch, dass eine Umformung mit einem Logarithmus (oder einer Exponentialfunktion) zur Basis größer als \(1\) das Relationszeichen einer Ungleichung nicht umkehrt, eine Umformung mit einer Basis kleiner als \(1\) hingegen schon!

Das folgende Beispiel soll links und rechts zwei verschiedene Lösungswege zeigen. Einmal ändert sich das Relationszeichen, einmal nicht!

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^i \leq \frac{1}{8} \] \[ \qquad\qquad\qquad\left(\frac{1}{2}\right)^i \leq \frac{1}{8} \qquad \vert \log_{\frac{1}{2}}(\cdot) \qquad\quad \left(\frac{1}{2}\right)^i = 2^{-i} \leq \frac{1}{8} = 8^{-1} \qquad \vert \log_2(\cdot) \] \[ \qquad\qquad\qquad i \geq \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{\log_2\left(\frac{1}{8}\right)}{\log_2\left(\frac{1}{2}\right)} \qquad\quad -i \leq \log_2\left(8^{-1}\right) = -\log_2(8) \qquad \vert :(-1) \] \[ \qquad i \geq \frac{-3}{-1} = 3 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad i \geq \frac{-3}{-1} = 3 \]

Wir sehen, dass beide Wege gleichermaßen zum Ziel führen.

Was haben wir gelernt?

  • Logarithmen sind einfach nur Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen
  • Es gibt nur ein paar Gesetze, analog zu Potenzgesetzen
  • Logarithmieren ist eine äquivalente Umformung
  • Logarithmen sind nicht böse

1Eine Ausnahme bildet \(0^0\), was nicht definiert ist. Die Beweggründe dafür sind ähnlich wie bei \(\tfrac{0}{0}\). Dieser Fall ist für unsere Betrachtungen jedoch nicht von Bedeutung.

2Nach diesem Prinzip funktionieren übrigens Rechenschieber. Dort wird eine Multiplikation auf eine Addition der Längen der Stäbe zurückgeführt. Das funktioniert wegen der dort verwendeten logarithmischen Skala der Zahlen.

3Wir werden später auch sehen, dass ein negatives Vorzeichen eines Logarithmus tatsächlich einer Basis kleiner als \(1\) entspricht. Dies wiederum lässt sich in einen negativen Exponenten beim Potenzieren übersetzen, was letzten Endes einer Division entspricht.

4Laut diesem Gesetz benötigt der Logarithmus noch einen Faktor. Im nächsten Abschnitt werden wir dann aber sehen, dass sich dieser in einen anderen Logarithmus übersetzen lässt.