Mathematisches Denken und Beweisen
Eine Einführung

Inhalt
Teil I: Grundlagen
  1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
  1.1 Definition und Beispiele 
  1.2 Verknüpfungen von Aussagen 
  1.3 Tautologie und Kontradiktion
  1.4 Aussageformen 
  1.5 Aussagen mit Quantoren 
  2 Mengen und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
  2.1 Mengen 
  2.2 Gleichheit von Mengen 
  2.3 Komplementäre Mengen 
  2.4 Die leere Menge 
  2.5 Teilmenge und Obermenge 
  2.6 Potenzmenge und Mengenfamilien 
  2.7 Vereinigung, Durchschnitt und Differenz von Mengen 
  2.8 Produkt von Mengen 
  2.9 Weitere Rechenregeln für Mengenoperationen
  3 Mathematisches Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  58
  4 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
  4.1 Definition und erste Beispiele 
  4.2 Operationen auf Relationen 
  4.3 Wichtige Eigenschaften von Relationen
  4.4 Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilung 
  4.5 Rechnen mit Äquivalenzrelationen 
  4.6 Halbordnungsrelationen
  5 Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
  5.1 Definition und erste Beispiele 
  5.2 Surjektive, injektive und bijektive Abbildungen 
  5.3 Folgen und Mengenfamilien 
  5.4 Kardinalität von Mengen 
  Quellen und weiterführende Literatur 

Teil II: Techniken
  6 Grundlegende Beweisstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
  6.1 Direkter Beweis 
  6.2 Beweis durch Kontraposition 
  6.3 Widerspruchs-Beweis 
  6.4 Äquivalenzbeweis 
  6.5 Beweis durch Fallunterscheidung 
  6.6 Beweis atomarer Aussagen 
  6.7 Beweis von Aussagen mit Quantoren 
  6.8 Kombinatorischer Beweis 
  7 Vollständige Induktion  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
  7.1 Idee der vollständigen Induktion 
  7.2 Beispiele für Induktionsbeweise 
  7.3 Struktur von Induktionsbeweisen 
  7.4 Verallgemeinerte vollständige Induktion 
  7.5 Induktive Definitionen 
  8 Zählen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
  8.1 Grundlegende Zählprinzipien 
  8.2 Kombinationen, Permutationen und Binomialkoeffizienten 
  8.3 Rechnen mit Binomialkoeffizienten 
  
  9 Diskrete Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
  9.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten 
  9.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit 
  9.3 Zufallsvariablen 
  9.4 Binomial-Verteilung und geometrische Verteilung 
  Quellen und weiterführende Literatur 

Teil III: Strukturen
 
  10 Boole'sche Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
  10.1 Schaltfunktionen und Ausdrücke 
  10.2 Definition der Boole'schen Algebra 
  10.3 Beispiele Boole'scher Algebren
  10.4 Eigenschaften Boole'scher Algebren 
  10.5 Halbordnungen in einer Boole'schen Algebra 
  10.6 Atome 
  10.7 Normalformen für Boole'sche Ausdrücke 
  10.8 Minimierung Boole'scher Ausdrücke 
  10.9 Der Isomorphie-Satz 
  10.10 Schaltkreis-Algebra 
  11 Graphen und Bäume  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
  11.1 Grundbegriffe 
  11.2 Wege und Kreise in Graphen 
  11.3 Graphen und Matrizen 
  11.4 Isomorphismen auf Graphen 
  11.5 Bäume 
  12 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  262
  12.1 Boole'sche Algebra und Aussagenlogik 
  12.2 Normalformen
  12.3 Erfüllbarkeitsäquivalente Formeln 
  12.4 Unerfüllbare Klauselmengen 
  12.5 Erfüllbarkeit von Hornklauseln 
  12.6 Resolution 
  12.7 Klauselmengen in 2KNF 
  Quellen und weiterführende Literatur 
Index